高等数学专升本试卷二(含答案)

高等数学专升本试卷

题 号 得 分 考试说明：

1、考试时间为150分钟； 2、满分为150分；

3、答案请写在试卷纸上，用蓝色或黑色墨水的钢笔、圆珠笔答卷，否则无效； 4、密封线左边各项要求填写清楚完整。

一. 选择题（每个小题给出的选项中，只有一项符合要求.本题共有5个小题，每小题4分，共2０分） 1. 设

得分 阅卷人 一 二 三 四 总 分 fx的定义域为0,1

则函数

1fx41fx的定义域是

4 ( )

15A.0,1 B.,

441113C., D.,.

44442. 下列极限存在的是 ( )

A.lim1x B.lim2x

xxsinx11. C.lim1 D.limxx0n21n3.d1cosx （ ）

A.1cosx B.xsinxc

n2C.cosxc D.sinxc.

4.下列积分中不能直接使用牛顿莱布尼兹公式的是 ( )

 1 14dx A.cotxdx B. 01ex 0 1 xdx. C.4tanxdx D. 01x2 05.下列级数中发散的是 ( )

A.1n1n111n11 B.1 nnn1n1第 1 页，共12页

C.

1n1n111 D..

nnn1二.填空题(只须在横线上直接写出答案 不必写出计算过程 本题共有10个小题，每小

题4分 共40分)

1.若limank(k为常数) 则

n

得分 阅卷人 lima2n_______________.

nx0ex, 2. 设函数fx 在点x0处连续

x0ax,

则a________________.

3.曲线yarctanx在横坐标为1的点处的切线斜率为_______________________.

x4. 设函数yxe 则y''0__________________.

5. 函数ysinxx在区间0,上的最大值是_____________________.

x6.若2为fx的一个原函数，则fx__________________________. 7. 8.

9.设Fx

xasin1dx_______________________. 4 aaxfxfxdx____________________________.

x xftdt 其中ft是连续函数 则  axalimFx_________________.

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10.微分方程y'ycotx2xsinx的通解是________________________________.

三.计算题( 本题共有10个小题，每小题6分 共60分)

exex2. 1.计算limx0x2解.

2.设曲线yfx在原点与曲线ysinx相切 求limnn得分 阅卷人 2f. n解.

3.设函数y解.

4.设yyx是由方程xye22arctanyxx1x2,求dy.

确定的隐函数 求

dy. dx解.

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5.计算ex1exdx. 解.

6.设x t 0sinu2du 求dy.ycost2dx解.

7.计算dxx22x2.

解.

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xex,1x08.设fx ， 求xftdt在1,1上的表达式.

10x1x1,解.

9.求微分方程y'tanxy3满足初值条件y解.

10.求幂级数解.

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0的特解. 212n1x的收敛域. n3n1

四.综合题(本题有3个小题，共30分 其中第1题14分，第2题8分，第3题8分) 1.求函数y(本题14分)

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x1的单调区间 极值及其图形的凹凸区间.

得分 阅卷人 x2 2.已知

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xtftdt1cosx 证明： 0 x2 0 fxdx1. (本题8分)

3.设曲线yxx2与y轴交于点P 过P点作该曲线的切线 求切线与该曲线及x轴围成的区域绕x轴旋转生成的旋转体的体积. (本题8分)

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2

参及评分标准

一.选择题 (每小题4分 共20分)

1.D 2.B 3.C 4.A 5.D. 二.填空题(每小题4分 共40分) 1.k 2.1 3.6.2xln2 7.sin1 4.2 5.0 21xc 8.0 9.afa 10.x2csinx. 4 3

三.计算题(每小题6分 共60分)

exex1.解.原式=lim

x02x分

exex1. =limx02分

2.解.由条件推得f'00,f11， 分

6

2

12于是

2limnflim2nnn2ff0n 20n 6

5分

=2f'0分

注：若按下述方法： 原式2.

fxf'x2lim2lim2. x0x0x1x21x2211212解答者，只给4分.

1x3.

解5分

dy6分

4.解.取对数

2分

.

2y'1x1x322，

dx 1+x322 .

1ylnx2y2arctan2x，

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两边求导数

12x2yy'2x2y21y1x

2y'xyx2，

5分

整

理6分

（第1页，共3页）

5.

解3分

.

原

式

=

得

y'xy. xyd1ex1ex

ln1exc.

6分

6.

解

法

1.

解

法

6分

因

3分

dydydt1. dxdxdt2tsint22t.

sint2解

法4分 故6分

2.为

dxsint2dt,dy2tsint2dt

dy2t. dx.

原

式

7.解3分 =5分 =6分

d1x11x2

arctan1x

.

当

8解. 2分

1x0时

时

0

xxetdteex;

1 x当

0x15分 故

xedt1tdtt 1 0132x1e. 22eex,x13 21xe,221x0

0x1.6分

9.解法1. 分离变量 得到

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dycotxdx. 3y2分

积分得到ln3ylnsinxc 或

4分

代入初值条件y

yc3 csinx，

0 得到c3.于是特解为 23 y3.

sinx6分 2.

解

法

2.

由

解法

px13,qxtanxtanx4分

pxdxpxdxdxc,其中yeqxecy3 c ，得到

sinx代入初值条件y6分

30y3. 得到 .于是特解为c32sinx（第2页，共3页）

a10. 解.由limn1limnann 收

4分

敛

3n11x2n1x2n113n半

12x 可知 3径

R3

又当x3时 对应数项级数的一般项为 故

该

级

数

的

收

1 级数均发散 3域

为

敛

3,3

.

6分

四.综合题(第1小题14分 第2、3小题各8分 共30分) 1.解.定义域,0及0, y' 令 令

6分 2x3x2,y\", 34xxy'0,得驻

点

x12

5分

y\"0,得

x23

x ,3   3 3,2   2 0 2,0  0 0,   y' y\" 0  第 11 页，共12页

y 10分

2 9 1 4 函数的单调增加区间为2,0,单调减少区间为,2与0,.在x2处 有极小值1 .其图形的凹区间为3,0及0, 凸区间为,3. 4 x14分

2.证明.两边对x求导 得

4分

再

对6分

从

而

证

得

ftdtsinx,

0x求导，

得

 fxcosx,

交

2 0ftdt2cosxdx1.

08分

3.解.P点处该曲线的切线方程为yx2

且

与2分

曲线与x轴交点B1,0和C2,0 因此区域由直线PA和AB及曲线弧

x轴的于点

A2,0

PB所围成.

4分

该区域绕x旋转生成的旋转体的体积 V 02829x2x2dx

1330.

8分

注：若计算由直线PA与AC及曲线弧PC所围成

228136Vx2x2dx

0315，从而

者得6分.

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