九年级上册数学期末复习

九年级上数学复习纲要 第二章 《一元二次方程》

【意义建构】

一．一元二次方程的基础知识

1、 从实际问题中抽象出一元二次方程

（1）我国为解决老百姓看病难问题，决定下调药品的价格。某种药经过两次降价，由每盒60元调至52元。若设每次降价的百分率为x，则由题意义可列方程_________.

（2）一个矩形花园，它的长比宽的2倍少1m，若设宽为x m，面积为88 m2

，则关于的方程为

_____________.

2、 一元二次方程的概念及其一般式

（1）下列方程中，是一元二次方程的是

1、 3x2

+(1+x) 2+1=0 2、 3x2

+

1x+1=0 3、 4x2

=ax(其中a为常数) 4、 2x2

+3x

3x215、 5 =2x 6、(x2x)2 =2x 7、｜x2

+2x｜=4

（2）方程5(x2

－2x+1)=－3

2x+2

的一般形式是__________，其二次项是__________，一

次项系数是__________，常数项是__________.

（3）关于x的方程(m2－16)x2

+(m+4)x+2m+3=0是一元一次方程，则x为 。

（4）写一个一元二次方程，使它的二次项系数是－3，一次项系数是2： 。 二．配方法：用配方法解简单的数字系数的一元二次方程 1、填空（1）若

2x2=9

2，则x1=__________,x2=__________.

（2）若2(x－2)2

=50，则x1=__________,x2=__________.

（3）若x2

－kx+4满足完全平方公式，则k= .

（4）若x2

－6x－a满足完全平方公式，则a= . 2、选择题

（1）方程4x2

－0.3=0的解是

A.x0.075

B.x12030 C.x x110.2720.27 D.x12030，x122030 （2）已知方程ax2

+c=0(a≠0)有实数根，则a与c的关系是（ ）

A.c=0 B.c=0或a、c异号 C.c=0或a、c同号 D.c是a的整数倍

第1页（3）关于x的方程(x+m)2

=n,下列说法正确的是

A.有两个解x=±n

B.当n≥0时，有两个解x=±n－m C.当n≥0时，有两个解x=±nm

D.当n≤0时，方程无实根

3、用配方法解下列各题

（1） x2－2x－99=0 （2）2x2

+4=6x

4、x2+ y2+4x–6y+13+0, x,y 为实数，求xy

的值。

三．公式法：用公式法解简单的数字系数的一元二次方程（公式法实际上是配方法的一般化和公

式化）

1、方程3x2

－8=7x化为一般形式是__ __，a=___,b=____,c=___, b2－4ac= .方程的根x1=__________,x2=__________.

2、在方程1x222x4k0中，b2

2－4ac= ，当k 时，这个方程有解。

3.解方程：x2

+5x=7(用公式法)

四．分解因式法：会用分解因式法（提取公因式法、公式法）解简单的数字系数的一元二次方程1、用因式分解法解方程，下列方法中正确的是（ ）

A、x(x+2)=x ，两边同除以x，∴x+2=0 B、(x+3)(x－1)=1 ∴x+3=0或x－1=1

C、(x－2)(x－3)=2×3 ∴x－2=2或x－3=3 D、(2x－2)(3x－4)=0 ∴2－2x=0或3x－4=0 2、解下列方程：（用因式分解法）

(1) 2x2= 3x (2) x2

－8x+16=0

共3页

2五．体会“转化”、“整体”、“换元”的数学思想方法

11、一个两位数字，十位数字比个位数字大3，而这两个数字之积等于这个两位数字的，若设

1、“转化”：把一元二次方程转化为一元一次方程。 (x －1 ) (3x +1 ) = 0x－1=0，3x

+1 = 0

2、“整体”： (x+1)2=(2x－1)2

3、“换元”：(x2 －1 )2 － 5(x2 －1 ) + 4 = 0 六．列方程解决实际问题，并根据具体问题的实际意义检验结果的合理性 1、一矩形舞台长a米，主持人报幕时应站在舞台的黄金分割点处，主持人应站在舞台一端 米远的地方。 2、某农场计划修一条横断面为等腰梯形的渠道，横断面积为1.35平方米，上口宽比渠底宽多1.4米，渠深比渠底宽0.1米，则渠道的上口宽和渠深各是多少米？

【结构迁移】 一、 填空题 1、方程(x–1)(2x+1)=2化成一般形式是 ，它的二次项系数是 . 2、若方程kx2

–6x+1=0有两个实数根，则k的取值范围是 . 3、请写出一个一元二次方程使它有一个根为3 ， . 4、关于x的方程(m－3)xm27－x=5是一元二次方程，则m=_________.

5、已知y=x2+x－6，当x是_________时，y的值等于24. 6、－1是方程x2+bx－5=0的一个根，则b=_________，另一个根是_________. 7、已知方程ax2

+bx+c=0的一个根是－1，则a－b+c=___________.

8、方程

2y12y30的根是___________；方程x2160的根是___________。

29、在方程x1x34x1x310 中，如果设yx1x3，那么原方程可以化为关于的整式方程是 ；

10、若一个三角形的三边长均满足方程x2

-6x+8=0，则此三角形的周长为 .

第2页个位数字为x，则可列出方程________________ 12、将方程3x2

+8x =3转化为(xm)2n的形式为 。

二、 选择题

1、方程2x2

－3=0的一次项系数是（ ） A.－3 B.2 C.0 D.3

2、若一元二次方程(m－2)x2+3(m2+15)x+m2

－4=0的常数项是0，则m为（ ） A.2 B.±2 C.－2 D.－10

3、若代数式x2

+5x+6与－x+1的值相等，则x的值为（ ） A.x1=－1，x2=－5 B.x1=－6，x2=1 C.x1=－2，x2=－3 D.x=－1

4、已知y=6x2

－5x+1，若y≠0，则x的取值情况是（ ）

A.x≠116且x≠1 B.x≠2

C.x≠13 D.x≠112且x≠3

5、方程x2kx10的根的情况是（ ） （A）方程有两个不相等的实数根 （B）方程有两个相等的实数根 （C）方程没有实数根

（D）方程的根的情况与k的取值有关

6、若一元二次方程 2x（kx－4）－x2

＋6 ＝ 0 无实数根，则k的最小整数值是（（A）－1 （B）0 （C）1 （D）2 7、用配方法解下列方程时，配方有错误的是（ ）

A.x2-2x-99=0化为(x-1)2

=100

B.x2+8x+9=0化为(x+4)2

=25

C.2t2

-7t-4=0化为

(t74)28116 D.3y2

-4y-2=0化为

(y23)2109 8、下面是李刚同学在一次测验中解答的填空题，其中答对的是（ ）．

A.若x2

=4，则x＝2

共3页

7）

B.方程x(2x－1)＝2x－1的解为x＝1 C.若x2

+2x+k=0的一个根为1，则k＝3

D.若分式x2－3x＋2x－1的值为零，则x＝1，2

9、据（武汉市2019年国民经济和社会发展统计公报）报告：武汉市2019年国内生产总值达1493亿元，比2019年增长11.8％．下列说法：① 2019年国内生阐总值为1493（1－11.8％）亿元；②2019年国内生产总值为

1493111.8%亿元；③2019年 国内生产总值为1493111.8%亿元；④若按

11.8％的年增长率计算，2019年的国内生产总值预计为1493（1＋11.8％）2亿元．其中正确的是（ ）

A.③④ B.②④ C.①④ D.①②③ 三、 解方程

1、分别用下列方法解方程 （1）(2x1)29 （直接开平方法）

(2)4x2

–8x+1=0（配方法）

（3）3x2

+5(2x+1)=0（公式法） （4）7x5x265x2（因式分解法）

2、用适当的方法解方程

x227（1）(x+3)(x－1)=5 （2）

42x

（3）(t－3)2

+t=3

第3页

四、解答题（每小题7分，计35分）

1、求证：不论k取什么实数，方程x2

–(k+6)x+4(k－3)=0一定有两个不相等的实数根.

2、已知a、b、c为三角形三边长，且方程b (x2-1)-2ax+c (x2

+1)=0有两个相等的实数根. 试判断此三角形形状，说明理由.

3、 如图某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长18m），另三边用木栏围成，木栏长35m。

①鸡场的面积能达到150m2吗？②鸡场的面积能达到180m2

吗？ 如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由。

4、将进货单价为40元的商品按50元出售时，能卖500个。已知该商品每涨价1元，其销售量就要减少10个，物价局规定该商品的利率不得超过80%，为了赚8000元的利润，售价应定为多少？这时应进货多少个？

共3页