高二数学下学期期末考试试题 理
一、选择题（共12小题）. 1．设i是虚数单位，若复数z＝A．﹣2
B．﹣1
+i（a∈R）是实数，则a的值为（ ）
C．1
D．2
2．现从编号为1，2，…，96的观众中，采用系统抽样的方法抽取八位幸运观众，其中有两个编号为21与93，则所抽取的8个编号的中位数为（ ） A．45
B．48
C．51
D．57
3．埃及金字塔是古埃及的帝王（法老）陵墓，世界七大奇迹之一，其中较为著名的是胡夫金字塔．令人吃惊的并不仅仅是胡夫金字塔的雄壮身姿，还有发生在胡夫金字塔上的数字“巧合”．如胡夫金字塔的底部周长如果除以其高度的两倍，得到的商为3.14159，这就是圆周率较为精确的近似值．金字塔底部形为正方形，整个塔形为正四棱锥，经古代能工巧匠建设完成后，底座边长大约230米．因年久风化，顶端剥落10米，则胡夫金字塔现高大约为（ ） A．128.5 米 4．在（A．9
B．132.5 米
C．136.5 米
D．140.5 米
）n的二项展开式中，若第四项的系数为﹣7，则n＝（ ）
B．8
C．7
D．6
5．如图所示的程序框图是为了求出满足1+3+5+…+n≤2020的最大正奇数的值，那么在框中，可以填（ ）
1
A．“输出i﹣4” B．“输出i﹣2” C．“输出i﹣1”
2
D．“输出i”
6．已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布N（0，3），从中随机抽取一件，其长度误差落在区间（3，6）内的概率为（ ）
（附：若随机变量ξ服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜ξ＜μ+σ）＝68.26%，
P（μ﹣2σ＜ξ＜μ+2σ）＝95.44%）
A．4.56%
B．13.59%
C．27.18%
D．31.74%
7．法国有个名人叫做布莱尔•帕斯卡，他认识两个赌徒，这两个赌徒向他提出一个问题，他们说，他们下赌金之后，约定谁先赢满5局，谁就获得全部赌金700法郎，赌了半天，甲赢了4局，乙赢了3局，时间很晚了，他们都不想再赌下去．假设每局两赌徒输赢的概率各占，每局输赢相互，那么这700法郎如何分配比较合理（ ） A．甲400法郎，乙300法郎 C．甲525法郎，乙175法郎
B．甲500法郎，乙200法郎 D．甲350法郎，乙350法郎
8．若函数f（x）＝ax+e﹣x﹣ex在R上单调递减，则实数a的取值范围为（ ） A．a≤2
B．a≤1
C．a≥1
D．a≥2
9．将曲线x2+y2＝|x|+|y|围成的区域记为Ⅰ，曲线|x|+|y|＝1围成的区域记为Ⅱ，在区域Ⅰ中随机取一点，此点取自区域Ⅱ的概率为（ ） A．
B．
C．
D．
10．已知定义在（0，+∞）上的函数f（x）＝x2﹣m，g（x）＝6lnx﹣4x，设两曲线y＝f（x），
y＝g（x）在公共点处的切线相同，则m值为（ ）
A．5
B．1
C．3
D．﹣3
11．我国古代《九章算术》中将上，下两面为平行矩形的六面体称为刍童．如图的刍童ABCD﹣EFGH有外接球，且AB＝2
，AD＝2
，EH＝
，EF＝
，平面ABCD与平面EFGH间的距离为1，则该刍童外接球的体积为（ ）
A．12π 12．已知函数
B．24π 和函数
C．36π D．48π
，关于这两个函数图象的交点个数，下
2
列四个结论： ①当②当③当④当
时，两个函数图象没有交点； 时，两个函数图象恰有三个交点；
时，两个函数图象恰有两个交点；
时，两个函数图象恰有四个交点．
正确结论的个数为（ ） A．1
B．2
C．3
D．4
二、填空题（每小题5分，共20分） 13．函数y＝
在区间（1，2）上的定积分为 ．
14．用数学归纳法证明（n+1）（n+2）…（n+n）＝2n•1•3•5…（2n﹣1）的过程中，由k到
k+1时，右边应增加的因式是 ．
15．“学习强国”学习平台是由中宣部主管，以深入学习宣传*新时代中国特色社会主义思想为主要内容，立足全体党员、面向全社会的优质平台，现已日益成为老百姓了解国家动态，紧跟时代脉搏的热门app．该款软件主要设有“阅读文章”和“视听学习”两个学习板块和“每日答题”、“每周答题”、“专项答题”、“挑战答题”四个答题板块．某人在学习过程中，将六大板块依次各完成一次，则“阅读文章”与“视听学习”两大学习板块之间最多间隔一个答题板块的学习方法有 种． 16．已知双曲线
﹣
＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与双曲线的左支交于
A，B两点，若∠AF2B＝60°，则△AF2B的内切圆半径为 ．
三、解答题（共70分） 17．已知函数f（x）＝|x﹣2|．
（1）解不等式：f（x）＜4﹣f（x+1）； （2）若函数
求实数m的取值范围．
18．某工厂新购置甲、乙两种设备，分别生产A，B两种产品，为了解这两种产品的质量，随机抽取了200件进行质量检测，得到质量指标值的频数统计表如下：
质量指标值 （35，40] （40，45] （45，50] （50，55] （55，60] （60，65] 合计
与函数y＝m﹣f（x）﹣2f（x﹣2）的图象恒有公共点，
3
A产品频数 B产品频数
2 12
6 24
a b
32 27
20 15
10 6
80
n
产品质量2×2列联表
产品质量高
． 0.05 3.841
0.01 6.635
0.001 10.828
产品质量一般
合计
A产品 B产品
合计
附：K＝
2
P（K2≥k0）
k0
（1）求a，b，n的值，并估计A产品质量指标值的平均数；
（2）若质量指标值大于50，则说明该产品质量高，否则说明该产品质量一般．请根据频数表完成2×2列联表，并判断是否有99%的把握认为质量高低与引入甲、乙设备有关． 19．如图所示，圆锥的底面半径为2，其侧面积是底面积的2倍，线段AB为圆锥底面⊙O的直径，在底面内以线段AO为直径作⊙M，点P为⊙M上异于点A，O的动点． （1）证明：平面SAP⊥平面SOP；
（2）当三棱锥S﹣APO的体积最大时，求二面角A﹣SP﹣B的余弦值．
20．小张经营一个抽奖游戏．顾客花费3元钱可购买游戏机会．每次游戏中，顾客从装有1个黑球，3个红球，6个白球的不透明的袋子中依次不放回地摸出3个球（除颜色外其他都相同），根据摸出的球的颜色情况进行兑奖．顾客获得一等奖，二等奖，三等奖，四等奖时分别可领取的奖金为a元，10元，5元，1元．若经营者小张将顾客摸出的3个球的颜色情况分成以下类别：A：1个黑球2个红球；B：3个红球；C：恰有1个白球；D：
4
恰有2个
白球；E：3个白球．且小张计划将五种类别按发生的机会从小到大的顺序分别对应中一等奖，
中二等奖，中三等奖，中四等奖，不中奖五个层次．
（1）通过计算写出一至四等奖分别对应的类别（写出字母即可）； （2）已知顾客摸出的第一个球是红球的条件下，求他获得二等奖的概率；
（3）设顾客进行一次游戏时小张可获利X元，求变量X的分布列；若小张不打算在游戏中亏本，求a的最大值．
21．在平而直角坐标系xOy中有定点M（﹣1，﹣5），F（1，0），动点P满足||
|．
•
|＝
（1）求动点P的轨迹C的方程； （2）过定点N（0，
）且不经过点F的直线l与曲线C交于A，B两点，直线AF与曲
线C交于点S，直线BF与曲线C交于点T．请问直线ST的斜率是否为定值？若是，求此定值；若不是，请证明你的结论．
22．已知f（x）＝ex﹣alnx﹣a，g（x）＝ex﹣x，其中常数a＞0．
（1）若函数y＝g（x）﹣f（x）有两个零点x1，x2（0＜x1＜x2），求实数a的范围； （2）设H（x）＝（x﹣1）2（g（x）+x），在区间（1，+∞）内是否存在区间[m，n]（m＞1），使函数H（x）
在区间[m，n]的值域也是[m，n]？请给出结论，并说明理由．
参
一、选择题（每小题5分，共60分） 1．设i是虚数单位，若复数z＝A．﹣2
B．﹣1
+i（a∈R）是实数，则a的值为（ ）
C．1
D．2
【分析】化简复数z，根据z是实数列方程求出a的值． 解：复数z＝
+i＝
+i＝a+（2﹣a）i，
由z是实数，得（2﹣a）＝0，解得a＝2； 所以a的值为2．
5
故选：D．
2．现从编号为1，2，…，96的观众中，采用系统抽样的方法抽取八位幸运观众，其中有两个编号为21与93，则所抽取的8个编号的中位数为（ ） A．45
B．48
C．51
D．57
【分析】先根据条件求出抽样间隔，进而求得所有编号，即可求得结论． 解：因为从96人中抽取8人，抽样间隔为：
＝12；
设最小编号为x，则第二个编号为：x+12＝21； 故x＝9；
则所有编号为：9，21，33，45，57，69，81，93； 故其中位数为：故选：C．
3．埃及金字塔是古埃及的帝王（法老）陵墓，世界七大奇迹之一，其中较为著名的是胡夫金字塔．令人吃惊的并不仅仅是胡夫金字塔的雄壮身姿，还有发生在胡夫金字塔上的数字“巧合”．如胡夫金字塔的底部周长如果除以其高度的两倍，得到的商为3.14159，这就是圆周率较为精确的近似值．金字塔底部形为正方形，整个塔形为正四棱锥，经古代能工巧匠建设完成后，底座边长大约230米．因年久风化，顶端剥落10米，则胡夫金字塔现高大约为（ ） A．128.5 米
B．132.5 米
C．136.5 米
D．140.5 米
＝51．
【分析】由已知求出底面周长，再由底部周长除以高度的两倍等于3.14159求得高，减去10得答案．
解：设金字塔风化前的形状如图，
∵AB＝230，∴其底面周长为230×4＝920， 由题意可得：∴PO＝146.42．
∴胡夫金字塔现高大约为146.42﹣10＝136.42米． 结合选项可得，胡夫金字塔现高大约为136.5米． 故选：C．
，
6
4．在（A．9
）n的二项展开式中，若第四项的系数为﹣7，则n＝（ ）
B．8
C．7
D．6
【分析】先写出其通项，再令r＝3，根据第四项的系数为﹣7，即可求出n的值． 解：
的二项展开式的通项为Tr+1＝∁nr（﹣2﹣1）r，
∵第四项的系数为﹣7， ∴r＝3，
∴∁n3（﹣2﹣1）3＝﹣7， 解得n＝8， 故选：B．
5．如图所示的程序框图是为了求出满足1+3+5+…+n≤2020的最大正奇数的值，那么在框中，可以填（ ）
A．“输出i﹣4”
B．“输出i﹣2” C．“输出i﹣1” D．“输出i”
7
【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算s的值并输出符合题意的i的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案． 解：由于满足1+3+5+…+n＞2020后，此时i值比程序要求的i的值多2，又执行了一次
i＝i+2，
故输出的应为i﹣4． 故选：A．
6．已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布N（0，3），从中随机抽取一件，其长度误差落在区间（3，6）内的概率为（ ）
（附：若随机变量ξ服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜ξ＜μ+σ）＝68.26%，
2
P（μ﹣2σ＜ξ＜μ+2σ）＝95.44%）
A．4.56%
B．13.59%
C．27.18%
D．31.74%
【分析】由题意P（﹣3＜ξ＜3）＝68.26%，P（﹣6＜ξ＜6）＝95.44%，可得P（3＜ξ＜6）＝（95.44%﹣68.26%），即可得出结论．
解：由题意P（﹣3＜ξ＜3）＝68.26%，P（﹣6＜ξ＜6）＝95.44%， 所以P（3＜ξ＜6）＝（95.44%﹣68.26%）＝13.59%． 故选：B．
7．法国有个名人叫做布莱尔•帕斯卡，他认识两个赌徒，这两个赌徒向他提出一个问题，他们说，他们下赌金之后，约定谁先赢满5局，谁就获得全部赌金700法郎，赌了半天，甲赢了4局，乙赢了3局，时间很晚了，他们都不想再赌下去．假设每局两赌徒输赢的概率各占，每局输赢相互，那么这700法郎如何分配比较合理（ ） A．甲400法郎，乙300法郎 C．甲525法郎，乙175法郎
【分析】甲赢得700法郎的概率为P1＝
＝，由此能求出结果．
解：由题意得：
甲赢得700法郎的概率为P1＝乙赢得700法郎的概率为P2＝
＝， ＝，
B．甲500法郎，乙200法郎 D．甲350法郎，乙350法郎
＝，乙赢得700法郎的概率为P2＝
8
∴这700法郎应该分配给甲：700×＝525法郎，分配乙：700×＝175法郎． 故选：C．
8．若函数f（x）＝ax+e﹣x﹣ex在R上单调递减，则实数a的取值范围为（ ） A．a≤2
B．a≤1
﹣xC．a≥1
xD．a≥2
﹣x【分析】由题意可得，f′（x）＝a﹣（e+e）≤0恒成立，即a≤e+e，然后结合基本不等式即可求解．
解：由题意可得，f′（x）＝a﹣（e﹣x+ex）≤0恒成立，即a≤e﹣x+ex， ∵e﹣x+ex≥2， ∴a≤2， 故选：A．
9．将曲线x2+y2＝|x|+|y|围成的区域记为Ⅰ，曲线|x|+|y|＝1围成的区域记为Ⅱ，在区域Ⅰ中随机取一点，此点取自区域Ⅱ的概率为（ ） A．
B．
C．
D．
x【分析】分别求出各自对应的面积，进而求得结论．
解：曲线x+y＝|x|+|y|、曲线|x|+|y|＝1围成的区域Ⅰ、Ⅱ，如图：
2
2
可知区域Ⅰ的面积为区域Ⅱ的面积为∴由几何概率公式得：故选：C．
；
．
10．已知定义在（0，+∞）上的函数f（x）＝x2﹣m，g（x）＝6lnx﹣4x，设两曲线y＝f（x），
y＝g（x）在公共点处的切线相同，则m值为（ ）
A．5
B．1
C．3
D．﹣3
【分析】根据题意，设f（x）与h（x）的公共点为（a，b），（a＞0），分析可得f′
9
（a）＝h′（a），求出两个函数的导数，分析可得2a＝﹣4，解可得a的值，代入h（x）的解析式可得公共点的坐标，进而代入f（x）的解析式可得m的值，即可得答案． 解：根据题意，设f（x）与h（x）的公共点为（a，b），（a＞0） 若两曲线y＝f（x）与y＝h（x）在公共点处的切线相同，
则两个函数在公共点处的切线斜率相同，则有f′（a）＝h′（a）， 对于f（x）＝x﹣m，有f′（x）＝2x，则f′（a）＝2a，
对于h（x）＝6lnx﹣4x，有h′（x）＝﹣4，则h′（a）＝﹣4， 则有2a＝﹣4，解可得：a＝1或﹣3（舍）， 则有b＝6×ln1﹣4＝﹣4； 即公共点为（1，﹣4），
对于f（x）＝x2﹣m，可得﹣4＝1﹣m，解可得m＝5； 故选：A．
11．我国古代《九章算术》中将上，下两面为平行矩形的六面体称为刍童．如图的刍童ABCD﹣EFGH有外接球，且AB＝2
，AD＝2
，EH＝
，EF＝
，平面ABCD与平面EFGH2
间的距离为1，则该刍童外接球的体积为（ ）
A．12π B．24π C．36π D．48π
【分析】设上底面中心为O1，下底面中心为O2，刍童外接球的球心为O，则O，O1，O2共线，由已知求出两个长方形的对角线长，再由勾股定理列式求得刍童的外接球的半径，则表面积可求．
解：如图，设上底面中心为O1，下底面中心为O2， 刍童外接球的球心为O，则O，O1，O2共线， 连接O1E，O2A，OE，OA， 由已知可得
，
，O1O2＝1．
设该刍童的外接球的半径为R，OO2＝h， 则R2＝8+h2，R2＝5+（h+1）2，联立解得R2＝9．
10
∴该刍童的外接球的表面积为S＝4πR＝36π． 故选：C．
2
12．已知函数列四个结论： ①当②当③当④当
和函数，关于这两个函数图象的交点个数，下
时，两个函数图象没有交点； 时，两个函数图象恰有三个交点；
时，两个函数图象恰有两个交点；
时，两个函数图象恰有四个交点．
正确结论的个数为（ ） A．1
B．2
C．3
D．4
【分析】通过函数的交点个数，转化为方程的解的个数，构造函数，利用函数的导数，求解函数的单调性，判断函数的极值，通过a的范围判断函数的零点个数，然后判断选项的正误即可．
解：两个函数图象交点个数只须考察方程
的解的个数，即方程
的解的个数，令，
当x＞0时，f（x）＝xex，f'（x）＝ex+xex＝ex（x+1）＞0，所以f（x）在（0，+∞）上为增函数，值域为（0，+∞）；
当x＜0时，f（x）＝﹣xex，f'（x）＝﹣ex﹣xex＝﹣ex（x+1），由f'（x）＝0，得x＝﹣1．
当x∈（﹣∞，﹣1）时，f'（x）＝﹣ex（x+1）＞0，f（x）为增函数；
11
当x∈（﹣1，0）时，f'（x）＝﹣e（x+1）＜0，f（x）为减函数； 当x→﹣∞时，f（x）→0，
∴函数f（x）在（﹣∞，0）上有最大值为令t＝f（x），方程当当
时，方程时，方程
，化为
， ，
x无解，原方程无解，两个函数图象无交点； 有唯一解
，
，原方程有唯一解，两
个函数图象恰有一个交点； 当
时，方程
有两解
，
，原方程有两解，两个函数图象恰有两个交点；
当
时，方程
有两解
，t2＝2e，原方程有三解，两个函数
图象恰有三个交点； 当
时，方程
有两解
，t2∈（2e，+∞），原方
程有四解，两个函数图象恰有四个交点． 故选：D．
二、填空题（每小题5分，共20分） 13．函数y＝【分析】解：因为y＝所以
在区间（1，2）上的定积分为
．
ydx＝（x+1+）dx，再根据定积分的运算法则求解即可． ＝x+1+，
ydx＝（x+1+）dx＝＝（）﹣（）
12
＝．
．
n故答案为：
14．用数学归纳法证明（n+1）（n+2）…（n+n）＝2•1•3•5…（2n﹣1）的过程中，由k到
k+1时，右边应增加的因式是 2（2k+1） ．
【分析】分别求出n＝k时左边的式子，n＝k+1时左边的式子，用n＝k+1时左边的式子，比较两个表达式，即得所求．
解：当n＝k时，右边等于2•1•3•5…（2k﹣1）， 当n＝k+1时，右边等于2•1•3•5…（2k﹣1）（2k+1）， 故从“k”到“k+1”的证明，右边需增添的代数式是：2（2k+1）， 故答案为：2（2k+1）．
15．“学习强国”学习平台是由中宣部主管，以深入学习宣传*新时代中国特色社会主义思想为主要内容，立足全体党员、面向全社会的优质平台，现已日益成为老百姓了解国家动态，紧跟时代脉搏的热门app．该款软件主要设有“阅读文章”和“视听学习”两个学习板块和“每日答题”、“每周答题”、“专项答题”、“挑战答题”四个答题板块．某人在学习过程中，将六大板块依次各完成一次，则“阅读文章”与“视听学习”两大学习板块之间最多间隔一个答题板块的学习方法有 432 种．
【分析】本题要将相邻的情况和“阅读文章”与“视听学习”间恰有一个答题板块的情况分别思考，用排列组合的知识分别计算，最后相加即得结果． 解：由题意，可知“阅读文章”与“视听学习”相邻的方法数为“阅读文章”与“视听学习”间恰有一个答题板块的方法数为共有240+192＝432种方法． 故答案为：432． 16．已知双曲线
﹣
＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与双曲线的左支交于
种； 种；
k+1
kA，B两点，若∠AF2B＝60°，则△AF2B的内切圆半径为 ．
【分析】设内切圆的圆心M，设△AF2B三边与内切圆的切点，连接切点与圆心M的线段，由内切圆的性质可得|AF2|﹣|AQ|＝|BF2|﹣|BQ|，再由双曲线定义可知：|AF2|﹣|AF1|＝|BF2|﹣|BF1|＝2a，可得Q，F1重合，再由∠AF2B＝60°可得内切圆的半径的值．
13
解：设内切圆的圆心为M（x，y），设圆M与三角形的边分别切于T，Q，S，如图所示 连接MS，MT，MQ，由内切圆的性质可得：|F2T|＝|F2S|，|AT|＝|AQ|，|BS|＝|BQ|， 所以|AF2|﹣|AQ|＝|AF2|﹣|AT|＝|F2T|，|BF2|﹣|BQ|＝|BF2|﹣|BS|＝|F2S|， 所以|AF2|﹣|AQ|＝|BF2|﹣|BQ|，
由双曲线的定义可知：|AF2|﹣|AF1|＝|BF2|﹣|BF1|＝2a，所以可得Q，F1重合， 所以|TF2|＝2a＝4， 所以r＝|MT|＝|TF2|tan 故答案为：
．
＝
．
三、解答题（共70分） 17．已知函数f（x）＝|x﹣2|．
（1）解不等式：f（x）＜4﹣f（x+1）； （2）若函数
求实数m的取值范围．
【分析】（1）通过去掉绝对值符号，转化求解不等式的解集即可．
（2）求出g（x）的最小值，求出函数y的最大值，转化列出不等式求解即可． 解：（1）由f（x）＜4﹣f（x+1）得|x﹣2|＜4﹣|x﹣1|， 即
或
或
．
与函数y＝m﹣f（x）﹣2f（x﹣2）的图象恒有公共点，
解得或1≤x≤2或，即．
，
所以原不等式的解集为（2）因为函数
在[4，+∞）单调递增，
14
所以g（x）min＝g（4）＝1，
因为y＝m﹣f（x）﹣2f（x﹣2）＝，
在x＝4处取得最大值m﹣2， 要使函数
与函数y＝m﹣f（x）﹣2f（x﹣2）的图象恒有公共点，
则须m﹣2≥1，即m≥3，故实数m的取值范围是[3，+∞）．
18．某工厂新购置甲、乙两种设备，分别生产A，B两种产品，为了解这两种产品的质量，随机抽取了200件进行质量检测，得到质量指标值的频数统计表如下：
质量指标值 （35，40] （40，45] （45，50] （50，55] （55，60] （60，65] 合计
A产品频数 B产品频数
2 12
6 24
a b
32 27
20 15
10 6
80
n
产品质量2×2列联表
产品质量高
． 0.05 3.841
0.01 6.635
0.001 10.828
产品质量一般
合计
A产品 B产品
合计
附：K2＝
P（K2≥k0）
k0
（1）求a，b，n的值，并估计A产品质量指标值的平均数；
（2）若质量指标值大于50，则说明该产品质量高，否则说明该产品质量一般．请根据频数表完成2×2列联表，并判断是否有99%的把握认为质量高低与引入甲、乙设备有关． 【分析】（1）由已知求得a、n、b的值，计算平均数
；
（2）根据题意填写列联表，计算K2，对照附表得出结论．
解：（1）由已知得：a＝80﹣2﹣6﹣32﹣20﹣10＝10，n＝200﹣80＝120，b＝120﹣12﹣24﹣27﹣15﹣6＝36，
所以可估计A产品质量指标值的平均数为
15
＝×（37.5×2+42.5×6+47.5×10+52.5×32+57.5×20+62.5×10）＝53.25；
（2）根据题意填写列联表如下；
产品质量高
62 48 110
产品质量一般
18 72 90
≈27.273＞6.635，
合计 80 120 200
A产品 B产品
合计
计算K2＝
所以有99%的把握认为质量高低与引入甲、乙设备有关．
19．如图所示，圆锥的底面半径为2，其侧面积是底面积的2倍，线段AB为圆锥底面⊙O的直径，在底面内以线段AO为直径作⊙M，点P为⊙M上异于点A，O的动点． （1）证明：平面SAP⊥平面SOP；
（2）当三棱锥S﹣APO的体积最大时，求二面角A﹣SP﹣B的余弦值．
【分析】（1）推导出SO⊥AP，PO⊥AP，从而AP⊥平面SOP，由此能证明平面SAP⊥平面
SOP．
（2）设圆锥的母线长为l，底面半径为r，推导出l＝2r，OA⊥OC，SO⊥OA，SO⊥OC，以
O为原点，OA为x轴，OC为y轴，OS为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出
二面角A﹣SP﹣B的余弦值．
解：（1）证明：∵SO垂直于圆锥的底面，∴SO⊥AP， ∵AO为⊙M的直径，∴PO⊥AP，∴AP⊥平面SOP， ∵AP⊂平面SAP，∴平面SAP⊥平面SOP． （2）解：设圆锥的母线长为l，底面半径为r， ∴圆锥的侧面积S侧＝
，底面积S底＝πr2，
16
∴依题意2πr＝πrl，∴l＝2r，
取r＝2，l＝4，则在△ABS中，AB＝AS＝BS＝4，∴SO＝如图，在底面作⊙O的半径OC，使得OA⊥OC， ∵SO⊥OA，SO⊥OC，
∴以O为原点，OA为x轴，OC为y轴，OS为z轴，建立空间直角坐标系，
＝2
，
2
A（2，0，0），B（﹣2，0，0），S（0，0，2
在三棱锥S﹣APO中，∵SO＝2时MP⊥OA，
∵⊙M的半径为1，∴P（1，1，0）， ＝（﹣1，1，0），
），
，∴△AOP面积最大时，三棱锥S﹣APO的体积最大，此
＝（3，1，0），取a＝1，得＝（1，1，﹣2），
设平面SBP的法向量＝（a，b，c）， 则
，取a＝1，得＝（1，1，
），
设平面SBP的法向量＝（x，y，z）， 则
，取x＝﹣1，得＝（﹣1，3，
），
设二面角A﹣SP﹣B的平面角为θ，由图得θ为钝角，
∴cosθ＝﹣＝﹣＝﹣，
∴二面角A﹣SP﹣B的余弦值﹣．
17
20．小张经营一个抽奖游戏．顾客花费3元钱可购买游戏机会．每次游戏中，顾客从装有1个黑球，3个红球，6个白球的不透明的袋子中依次不放回地摸出3个球（除颜色外其他都相同），根据摸出的球的颜色情况进行兑奖．顾客获得一等奖，二等奖，三等奖，四等奖时分别可领取的奖金为a元，10元，5元，1元．若经营者小张将顾客摸出的3个球的颜色情况分成以下类别：A：1个黑球2个红球；B：3个红球；C：恰有1个白球；D：恰有2个
白球；E：3个白球．且小张计划将五种类别按发生的机会从小到大的顺序分别对应中一等奖，
中二等奖，中三等奖，中四等奖，不中奖五个层次．
（1）通过计算写出一至四等奖分别对应的类别（写出字母即可）； （2）已知顾客摸出的第一个球是红球的条件下，求他获得二等奖的概率；
（3）设顾客进行一次游戏时小张可获利X元，求变量X的分布列；若小张不打算在游戏中亏本，求a的最大值．
【分析】（1）求出一至四等奖的概率，即可写出分别对应的类别；
（2）顾客摸出的第一个球是红球的条件下，利用条件概率计算公式即可得出他获得二等奖的概率．
（3）若经营者不打算在这个游戏的经营中亏本，求出分布列得到期望，即可求a的最大值．
18
解：（1）P（A）＝＝，P（B）＝＝，P（C）＝＝
，P（D）＝＝，P（E）＝＝．
可得：P（B）＜P（A）＜P（E）＜P（C）＜P（D）． ∴一至四等奖分别对应的类别分别为：B，A，E，C．
（2）顾客摸出的第一个球是红球的条件下，他获得二等奖的概率P＝（3）X的分布列为：
X P
﹣（a﹣3）
﹣7
﹣2
2
3 ＝
．
[﹣（a﹣3）﹣21﹣40+72+180]≥0，解得a≤194． 因此a的最大值为194．
21．在平而直角坐标系xOy中有定点M（﹣1，﹣5），F（1，0），动点P满足||
|．
•
|＝
（1）求动点P的轨迹C的方程； （2）过定点N（0，
）且不经过点F的直线l与曲线C交于A，B两点，直线AF与曲
线C交于点S，直线BF与曲线C交于点T．请问直线ST的斜率是否为定值？若是，求此定值；若不是，请证明你的结论． 【分析】（1）设P的坐标，由题意可得向量可得P的轨迹方程； （2）设直线l的方程为程可得S（
，﹣
），T（
，A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线与抛物线方，﹣
），然后求出直线ST的斜率． ，
，
的坐标，再由P满足的条件，
解：（1）设点P的坐标为P（x，y）， 可得
∴动点P满足|
，
•
|＝|
|．
，．
19
∴|﹣x﹣1|＝，整理可得y＝4x．
2
（2）依题意可得直线l不与坐标轴垂直， 故可设直线l的方程为联立
，可得
，
，
由，解得m或m＜0．
．
设A（x1，y1），B（x2，y2），可得
设S（，y3），T（，y4），
∵直线AS过点F（1，0），故可设直线AS的方程为x＝ny+1， 联立
，可得y﹣4ny﹣4＝0，∴y1y3＝﹣4，
2
∴，点S（，﹣），同理可得T（，﹣）．
∴直线ST的斜率为k＝﹣＝﹣＝﹣（定值）．
22．已知f（x）＝ex﹣alnx﹣a，g（x）＝ex﹣x，其中常数a＞0．
（1）若函数y＝g（x）﹣f（x）有两个零点x1，x2（0＜x1＜x2），求实数a的范围； （2）设H（x）＝（x﹣1）2（g（x）+x），在区间（1，+∞）内是否存在区间[m，n]（m＞1），使函数H（x）
在区间[m，n]的值域也是[m，n]？请给出结论，并说明理由．
【分析】（1）令h（x）＝g（x）﹣f（x）＝alnx﹣x+a，求出h（x）的导数，根据函数的单调性判断即可；
（2）假设存在，得到方程（x﹣1）2ex＝x有两个大于1的不等实根，设函数G（x）＝（x﹣1）e﹣x（x＞1），根据函数的单调性得到G（x）在（1，+∞）上仅有一个零点，得到矛盾，从而判断结论．
解：（1）令h（x）＝g（x）﹣f（x）＝alnx﹣x+a，则h′（x）＝∵a＞0，故x，h′（x），h（x）的变化如下：
，
2x 20
x h′（x） h（x）
（0，a）
+ 递增
a
0 极大值
（a，+∞）
﹣ 递减
∵h（x）有2个零点，∴h（a）＞0，a＞1， 当a＞1时，∵h（e﹣1）＜0，h（4a2）＜0， 故h（x）有2个零点；
（2）H（x）＝（x﹣1）（g（x）+x）＝（x﹣1）e，
2
2xH′（x）＝（x2﹣1）ex
假设存在区间[m，n]（m＞1），使函数H（x）在区间[m，n]的值域也是[m，n]， 当x＞1时，H′（x）＞0，所以函数在区间（1，+∞）单调递增， 故
，即方程（x﹣1）e＝x有两个大于1的不等实根，
2x2
2x设函数G（x）＝（x﹣1）e﹣x（x＞1），则G′（x）＝（x﹣1）e﹣1，G′′（x）＝（x+2x﹣1）e，
当x＞1时，G′′（x）＞0，即函数G′（x）＝（x2﹣1）ex﹣1在区间（1，+∞）单调递增，
又G′（1）＝﹣1＜0，G′（2）＝3e2﹣1＞0，所以存在唯一的x0∈（1，2）使得G′（x0）＝0，
当x∈（1，x0）时，G′（x）＜0，函数G（x）递减， 当x∈（x0，+∞）时，G′（x）＞0，函数G（x）递增，
所以函数G（x）有极小值G（x0）＜G（1）＝﹣1，G（2）＝e2﹣2＞0， 所以函数G（x）在（1，+∞）上仅有一个零点， 这与方程（x﹣1）e＝x有两个大于1的不等实根矛盾，
故不存在区间[m，n]（m＞1），使函数H（x）在区间[m，n]的值域也是[m，n]．
2x2
xx 21
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