空间向量的数量积运算练习题

[学业水平层次]

一、选择题

1．设a、b、c是任意的非零平面向量，且它们相互不共线，下列命题：①(a·b)c－(c·a)b＝0；②|a|＝a·a；③a2b＝b2a；④(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2.其中正确的有( )

A．①② B．②③ C．③④ D．②④ 【解析】 由于数量积不满足结合律，故①不正确，由数量积的性质知②正确，③中|a|2·b＝|b|2·a不一定成立，④运算正确．

【答案】 D

2．已知a＋b＋c＝0，|a|＝2，|b|＝3，|c|＝4，则a与b的夹角〈a，b〉＝( )

A．30° C．60°

B．45° D．以上都不对

【解析】 ∵a＋b＋c＝0，∴a＋b＝－c，∴(a＋b)2＝|a|2＋|b|2＋2a·b3a·b1＝|c|，∴a·b＝2，∴cos〈a，b〉＝|a||b|＝4. 2

【答案】 D

3．已知四边形ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，连结AC，BD，PB，PC，PD，则下列各组向量中，数量积不为零的是( )

→→

A.PC与BD →→C.PD与AB

→→B.DA与PB →→D.PA与CD

【解析】 用排除法，因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥CD，故→→PA·CD＝0，排除D；因为AD⊥AB，PA⊥AD，又PA∩AB＝A，所以→→→→AD⊥平面PAB，所以AD⊥PB，故DA·PB＝0，排除B，同理PD·AB＝0，排除C.

【答案】 A

4. 如图3-1-21，已知空间四边形每条边和对角线都等于a，点E，F，G分别是AB，AD，DC的中点，则下列向量的数量积等于a2的是( )

图3-1-21

→→

A．2BA·AC →→B．2AD·DB →→C．2FG·AC →→D．2EF·CB

→→→→2【解析】 2BA·AC＝－a，故A错；2AD·DB＝－a2，故B错；→→→→→2212

2EF·CB＝－2a，故D错；2FG·AC＝AC＝a，故只有C正确．

【答案】 C 二、填空题

5．已知|a|＝2，|b|＝3，〈a，b〉＝60°，则|2a－3b|＝________. 【解析】 |2a－3b|2＝(2a－3b)2＝4a2－12a·b＋9b2 ＝4×|a|2＋9×|b|2－12×|a|·|b|·cos 60°＝61， ∴|2a－3b|＝61. 【答案】

61

6．已知|a|＝2，|b|＝1，〈a，b〉＝60°，则使向量a＋λb与λa－2b的夹角为钝角的实数λ的取值范围是________．

【解析】

λa－2b<0，a＋λb·

由题意知

cos〈a＋λb，λa－2b〉≠－1.

λa－2b<0，a＋λb·

即

λa－2b≠－|a＋λb||λa－2b|a＋λb·∴－1－3<λ<－1＋3.

【答案】 (－1－3，－1＋3)

⇒λ2＋2λ－2<0.

7. 如图3-1-22，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各条棱长都相等，M是侧棱CC1的中点，则异面直线AB1和BM所成的角的大小是________．

图3-1-22

→→→→→1→

【解析】 不妨设棱长为2，则|AB1|＝BB1－BA，BM＝BC＋2BB1，

→→

cos〈AB1，BM〉＝填90°.

【答案】 90° 三、解答题

→→→1→

BB1－BA·BC＋2BB1

22×5

＝

0－2＋2－022×5

＝0，故

8．如图3-1-23在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O为AC与BD的交点，G为CC1的中点．求证：A1O⊥平面GBD.

图3-1-23

→→→

【证明】 设A1B1＝a，A1D1＝b，A1A＝c. 则a·b＝0，a·c＝0，b·c＝0.

→→→→1→→1

而A1O＝A1A＋AO＝A1A＋2(AB＋AD)＝c＋2(a＋b)， →→→

BD＝AD－AB＝b－a，

→→→1→→1→11OG＝OC＋CG＝2(AB＋AD)＋2CC1＝2(a＋b)－2c. →→11∴A1O·BD＝c＋2a＋2b·(b－a)





1＝c·(b－a)＋2(a＋b)·(b－a)

122

＝c·b－c·a＋2(b－a) 12

＝2(|b|－|a|2)＝0. →→∴A1O⊥BD. ∴A1O⊥BD. →→

同理可证A1O⊥OG. ∴A1O⊥OG.

又OG∩BD＝O且A1O⊄面BDG， ∴A1O⊥面GBD.

9．已知长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝4，E为→→→→

侧面AB1的中心，F为A1D1的中点，试计算：(1)BC·ED1；(2)BF·AB1；→→(3)EF·FC1.

→→→

【解】 如图所示，设AB＝a，AD＝b，AA1＝c， 则|a|＝|c|＝2，|b|＝4，a·b＝b·c＝c·a＝0.

→→→→→(1)BC·ED1＝AD·(EA1＋A1D1)

→1→→→1

c－a＋b AA1－AB＋AD＝b·＝AD·22

＝|b|2＝42＝16.

→→→→→→(2)BF·AB1＝(BA1＋A1F)·(AB＋BB1)

→→1→→→＝AA1－AB＋AD·(AB＋AA1)

2

1

＝c－a＋2b·(a＋c) ＝|c|2－|a|2＝22－22＝0.

→→→→→→(3)EF·FC1＝(EA1＋A1F)·(FD1＋D1C1)

1→→1→1→→

AD＋AB ＝AA1－AB＋AD·222

111＝2c－a＋2b·2b＋a 

11

 b＋a＝2(－a＋b＋c)·2

1212

＝－2|a|＋4|b|＝2.

[能力提升层次]

1．(2014·中山高二检测)已知边长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1

→→的上底面A1B1C1D1的中心为O1，则AO1·AC的值为( )

A．－1 C．1

B．0 D．2

→→→→1→→→1→

【解析】 AO1＝AA1＋A1O1＝AA1＋2(A1B1＋A1D1)＝AA1＋2(AB→→→→→→1→2→2＋AD)，而AC＝AB＋AD，则AO1·AC＝2(AB＋AD)＝1，故选C.

【答案】 C

2．已知a，b是两异面直线，A，B∈a，C，D∈b，AC⊥b，BD⊥b且AB＝2，CD＝1，则直线a，b所成的角为( )

A．30° B．60° C．90° D．45°

→→→→→→→→【解析】 由于AB＝AC＋CD＋DB，则AB·CD＝(AC＋CD＋→→→2

DB)·CD＝CD＝1.

→→

→→→→AB·CD1cos〈AB，CD〉＝＝⇒〈AB，CD〉＝60°.

→→2|AB|·|CD|【答案】 B

3．(2014·长沙高二月考)已知正三棱柱ABC-DEF的侧棱长为2，底面边长为1，M是BC的中点，若直线CF上有一点N，使MN⊥CN

AE，则CF＝________.

→→→CN

【解析】 设CF＝m，由于AE＝AB＋BE， →1→→MN＝2BC＋mAD， →→又AE·MN＝0，

111得2×1×1×－2＋4m＝0，解得m＝16. 



1

【答案】 16

4．如图3-1-24，平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝1，AD＝2，AA1＝3，∠BAD＝90°，∠BAA1＝∠DAA1＝60°，求AC1的长．

图3-1-24

→→→→

【解】 ∵AC1＝AB＋AD＋AA1， →∴|AC1|＝＝→→→2AB＋AD＋AA1

→2→2→2→→→→→→AB＋AD＋AA1＋2AB·AD＋AB·AA1＋AD·AA1.

∵AB＝1，AD＝2，AA1＝3，∠BAD＝90°，∠BAA1＝∠DAA1＝60°， →→→→→→∴〈AB，AD〉＝90°，〈AB，AA1〉＝〈AD，AA1〉＝60°， →∴|AC1|＝＝23.

1＋4＋9＋21×3×cos 60°＋2×3×cos 60°