二阶常系数齐次线性微分方程求解方法

教学目的：使学生掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，了解二阶常系数非齐次线性微分方程的解法

教学重点：二阶常系数齐次线性微分方程的解法

教学过程：

一、二阶常系数齐次线性微分方程

二阶常系数齐次线性微分方程 方程

ypyqy0

称为二阶常系数齐次线性微分方程

其中p、q均为常数

如果y1、y2是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关解 那么yC1y1就是它的通解

我们看看 能否适当选取r 使yerx 满足二阶常系数齐次线性微分方程将yerx代入方程

ypyqy0

得

1

C2y2

为此

(r 2prq)erx 0

只要r满足代数方程r2prq0 函数y由此可见erx就是微分方程的解 qy0的特征方程 特

特征方程 方程r2prq0叫做微分方程ypy征方程的两个根r1、r2可用公式

pp24qr1,22

求出

特征方程的根与通解的关系

(1)特征方程有两个不相等的实根r1、r2时关的解

r1xr2xyeye12 函数、是方程的两个线性无

这是因为

y1er1x(r1r2)xey2er2xr1xr2xyeye12函数、是方程的解

又不是常数

因此方程的通解为

r1xr2xyCeCe12

(2)特征方程有两个相等的实根r1

2

r2时 函数y1e、y2xe是二阶常系数齐次线

r1xr1x 性微分方程的两个线性无关的解

这是因为

r1x y1e是方程的解

又

r1xr1x2r1x(xer1x)p(xer1x)q(xer1x)(2r1xr1)ep(1xr1)eqxe

er1x(2r1p)xer1x(r12pr1q)0

y2xer1xrxx1y 且1e不是常数

所以y2xe也是方程的解

r1x

因此方程的通解为

r1xr1x yC1eC2xe

(3)特征方程有一对共轭复根r1, 2程的两个线性无关的复数形式的解个线性无关的实数形式的解

i时 函数ye(i)x、ye(i)x是微分方

函数yexcosx、yexsinx是微分方程的两

函数y1e(i)x和y2e(i)x都是方程的解 而由欧拉公式 得

3

y1e(y2e(

i)xex(cosxisinx) ex(cosxisinx)

excosx1(y1y2)2

i)xy1y22excosx

y1y22iexsinxexsinx1(y1y2)2i

故excosx、y2exsinx也是方程解

可以验证 y1excosx、y2exsinx是方程的线性无关解

因此方程的通解为

yex(C1cosxC2sinx )

pyqy0的通解的步骤为

求二阶常系数齐次线性微分方程y第一步 写出微分方程的特征方程

r2prq0

第二步 求出特征方程的两个根r1、r2

第三步 根据特征方程的两个根的不同情况

4

写出微分方程的通解