数学三角函数公式大全

1. ①与（0°≤＜360°）终边相同的角的集合（角与角的终边重合）：

|k360,kZ

▲y2sinx1cosxcosx②终边在x轴上的角的集合： |k180,kZ ③终边在y轴上的角的集合：|k18090,kZ ④终边在坐标轴上的角的集合：|k90,kZ ⑤终边在y=x轴上的角的集合：|k18045,kZ ⑥终边在yx轴上的角的集合：|k18045,kZ

3sinx4cosxcosx1sinx2sinx3x4SIN\\COS三角函数值大小关系图1、2、3、4表示第一、二、三、四象限一半所在区域⑦若角与角的终边关于x轴对称，则角与角的关系：360k ⑧若角与角的终边关于y轴对称，则角与角的关系：360k180 ⑨若角与角的终边在一条直线上，则角与角的关系：180k ⑩角与角的终边互相垂直，则角与角的关系：360k90 2. 角度与弧度的互换关系：360°=2 180°= 1°=0.01745 1=57.30°=57°18′ 注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零.

、弧度与角度互换公式： 1rad＝180°≈57.30°=57°18ˊ． 1°＝≈0.01745（rad）

1803、弧长公式：l||r. 扇形面积公式：s扇形lr||r2

ya的终边P（x,y)r12124、三角函数：设是一个任意角，在的终边上任取（异于原点的）一点P（x,y）P与原点的距离为r，则 siny； ryxcos； tanxr； cotx； secr；. cscr. yxyox5、三角函数在各象限的符号：（一全二正弦，三切四余

弦）

yPT++ox--正弦、余割y-+o-+x余弦、正割y-+ox+-正切、余切yOMAx

6、三角函数线

正弦线：MP; 余弦线：OM; 正切线： AT.

7. 三角函数的定义域： 三角函数 f(x)sinx f(x)cosx f(x)tanx 定义域 x|xR x|xR 1x|xR且xk,kZ 2coscoscot sin8、同角三角函数的基本关系式：sintan

16. 几个重要结论:(1)ytancot1 cscsin1 seccos1

sin2cos21 sec2tan21 csc2cot21

(2)y9、诱导公式：

k 把的三角函数化为的三角函数，概括为：2|sinx|>|cosx|sinx>cosxOx|cosx|>|sinx|O|cosx|>|sinx|x“奇变偶不变，符号看象限”

cosx>sinx|sinx|>|cosx|(3) 若 osin(2kx)sinxcos(2kx)cosxtan(2kx)tanx cot(2kx)cotx公式组三

sin(x)sinxcos(x)cosxtan(x)tanx cot(x)cotx公式组四 sin(x)sinxcos(x)cosxtan(x)tanxcot(x)cotx公式组五

sin(2x)sinxcos(2x)cosxtan(2x)tanxcot(2x)cotx公式组六

sin(x)sinxcos(x)cosxtan(x)tanx cot(x)cotx（二）角与角之间的互换

公式组一 公式组二 cos()coscossinsin sin22sincos

cos()coscossinsin cos2cos2sin22cos2112sin2 sin()sincoscossin tan2sin()sincoscossin sin2tan1tan2

21cos 2tan()tantan1cos cos

1tantan22tantan tan 1cossin1cos1tantan21cos1cossintan()公式组三 公式组四 公式组五 11sincossinsincos()sin2tan222sin 12sinsincossin11tansin()cos2221coscoscoscos12tan()cot1tan2212 cossinsincoscos211tan2cos()sin2sinsin2sincos2221sinsin2cossintan()cot2tan2222 tancoscos2coscos1221tan2sin()cos22coscos2sinsin2262, ,tan15cot7523,. tan75cot1523 sin15cos754sin75cos1562 410. 正弦、余弦、正切、余切函数的图象的性质：

定义域 值域 周期性 奇偶性 单调性 ysinx ycosxR [1,1] ytanx1 x|xR且xk,kZ2 ycotx x|xR且xk,kZR  yAsinx （A、＞0） R R [1,1] R  A,A 当0,非奇非偶 当0,奇函数 2k2k2(A),12(A) 2 奇函数 2 2偶函数 [2k1,2k]奇函数 k,k22奇函数 [22k,；k,k1上为减函数（kZ） 22k]上为增函数；[上为增函数[2k, 2k1]上为减函数 （kZ） 上为增函数（kZ） 232k]22k,上为增函数； 2k上为减函数（kZ） 2(A),32k2(A)上为减函数（kZ） 注意：①ysinx与ysinx的单调性正好相反；ycosx与ycosx的单调性也同样相反.一般地，若yf(x)在[a,b]上递增（减），则yf(x)在[a,b]上递减（增）.

▲②ysinx与ycosx的周期是.

③ysin(x)或ycos(x)（0）的周期T2y.

Oxxytan的周期为2（TT2，如图，翻折无效）.

2④ysin(x)的对称轴方程是xk2（kZ），对称中心（k,0）；ycos(x)的

对称轴方程是xk（kZ），对称中心（k1,0）；ytan(x)的对称中心（

2k. ,0）2ycos2x原点对称ycos(2x)cos2x

⑤当tan·tan1,k2(kZ)；tan·tan1,k2(kZ).

⑥ycosx与ysinx2k是同一函数,而y(x)是偶函数，则

21y(x)sin(xk)cos(x).

2⑦函数ytanx在R上为增函数.（×） [只能在某个单调区间单调递增. 若在整个定义域，

ytanx为增函数，同样也是错误的].

⑧定义域关于原点对称是f(x)具有奇偶性的必要不充分条件.（奇偶性的两个条件：一是定义域关于原点对称（奇偶都要），二是满足奇偶性条件，偶函数：f(x)f(x)，奇函数：f(x)f(x)）

1奇偶性的单调性：奇同偶反. 例如：ytanx是奇函数，ytan(x)是非奇非偶.（定

3义域不关于原点对称）

奇函数特性质：若0x的定义域，则f(x)一定有f(0)0.（0x的定义域，则无此性质）

▲⑨ysinx不是周期函数；ysinx为周期函数（T）； ；ycosx为周期函数（T）； ycosx是周期函数（如图）

y▲yx1/2xy=cos|x|图象1，并非所有周期函数都有最小正周期，例如： ycos2x的周期为（如图）

2y=|cos2x+1/2|图象yf(x)5f(xk),kR.

⑩yacosbsina2b2sin()cosb 有a2b2y. a三角函数的图象变换有振幅变换、周期变换和相位变换等．

函数y＝Asin（ωx＋φ）的振幅|A|，周期T2，频率f1||，相位x;初相（即

||T2当x＝0时的相位）．（当A＞0，ω＞0 时以上公式可去绝对值符号），

由y＝sinx的图象上的点的横坐标保持不变,纵坐标伸长（当|A|＞1）或缩短（当0＜|A|＜1）到原来的|A|倍,得到y＝Asinx的图象，叫做振幅变换或叫沿y轴的伸缩变换．（用y/A替换y） 由y＝sinx的图象上的点的纵坐标保持不变,横坐标伸长（0＜|ω|＜1）或缩短（|ω|＞1）到原来的|1|倍,得到y＝sinω x的图象,叫做周期变换或叫做沿x轴的伸缩变换.(用ωx替换x)

由y＝sinx的图象上所有的点向左（当φ＞0）或向右（当φ＜0）平行移动｜φ｜个单位，得到y＝sin（x＋φ）的图象，叫做相位变换或叫做沿x轴方向的平移．(用x＋φ替换x)

由y＝sinx的图象上所有的点向上（当b＞0）或向下（当b＜0）平行移动｜b｜个单位，得到y＝sinx＋b的图象叫做沿y轴方向的平移．（用y+(-b)替换y） 由y＝sinx的图象利用图象变换作函数y＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0）（x∈R）的图象，要特别注意：当周期变换和相位变换的先后顺序不同时，原图象延x轴量伸缩量的区别。

高中数学三角函数常见习题类型及解法

1.三角函数恒等变形的基本策略。

（1）常值代换:特别是“1”的代换,如1=cos2θ+sin2θ=tanx·cotx=tan45°等。2）项的分拆与角的配凑.如分拆项:sin2x+2cos2x=(sin2x+cos2x)+cos2x=1+cos2x；

配凑角：α=（α+β）－β，β=－等。

22（3）降次与升次。（4）化弦（切）法。 （4）引入辅助角。asinθ+bcosθ=a2b2sin(θ+)，这里辅助角所在象

限由a、b的符号确定，角的值由tan=

b确定。 a2.证明三角等式的思路和方法。 1）思路:利用三角公式进行化名,化角,改变运算结构,使等式两边化为同一形式. 2）证明方法：综合法、分析法、比较法、代换法、相消法、数学归纳法。 3.证明三角不等式的方法：比较法、配方法、反证法、分析法，利用函数的单调性，利用正、余弦函数的有界性，利用单位圆三角函数线及判别法等。 4.解答三角高考题的策略。

（1）发现差异：观察角、函数运算间的差异，即进行所谓的“差异分析”。 （2）寻找联系：运用相关公式，找出差异之间的内在联系。 （3）合理转化：选择恰当的公式，促使差异的转化。 四、例题分析例1．已知tan2，求（1）

sin2sin.cos2cos2的值.

cossin；（2）

cossinsincossincos1tan12322； 解：（1）

sin1tan12cossin1cossin2sincos2cos222 (2) sinsincos2cos 22sincossin2sin2222242 cos2cos.

sin2131cos2说明：利用齐次式的结构特点（如果不具备，通过构造的办法得到），进行弦、切互化，就会使解题过程简化。

1例2．求函数y1sinxcosx(sinxcosx)2的值域。

π解：设tsinxcosx2sin(x)[2，2]，则原函数可化为

413yt2t1(t)2，因为t[2，2]，所以

2413当t2时，ymax32，当t时，ymin，

24332]。 所以，函数的值域为y[，4例3．已知函数f(x)4sin2x2sin2x2，xR。

（1）求f(x)的最小正周期、f(x)的最大值及此时x的集合； （2）证明：函数f(x)的图像关于直线xπ对称。 8解：f(x)4sin2x2sin2x22sinx2(12sin2x)

π 2sin2x2cos2x22sin(2x)

4(1)所以f(x)的最小正周期Tπ，因为xR，

ππ3π2kπ，即xkπ时，f(x)最大值为22； 428π(2)证明：欲证明函数f(x)的图像关于直线x对称，只要证明对任意xR，

8ππ有f(x)f(x)成立，

88ππππ因为f(x)22sin[2(x)]22sin(2x)22cos2x，

8842ππππf(x)22sin[2(x)]22sin(2x)22cos2x，

8842πππ所以f(x)f(x)成立，从而函数f(x)的图像关于直线x对称。

88831例4． 已知函数y=cos2x+sinx·cosx+1 （x∈R）,

22（1）当函数y取得最大值时，求自变量x的集合；

（2）该函数的图像可由y=sinx(x∈R)的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到？

33111(1）y=cos2x+sinx·cosx+1= (2cos2x－1)+ +（2sinx·cosx）+1

224443151515=cos2x+sin2x+=(cos2x·sin+sin2x·cos)+=sin(2x+)+

4442424666所以y取最大值时，只需2x+=+2kπ,（k∈Z），即 x=+kπ,（k∈Z）。

626所以当函数y取最大值时，自变量x的集合为{x|x=+kπ,k∈Z}

6（2）将函数y=sinx依次进行如下变换：

（i）把函数y=sinx的图像向左平移，得到函数y=sin(x+)的图像；

661（ii）把得到的图像上各点横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到函数

2y=sin(2x+)的图像；

61（iii）把得到的图像上各点纵坐标缩短到原来的倍（横坐标不变），得到函数

21y=sin(2x+)的图像； 26515（iv）把得到的图像向上平移个单位长度,得到函数y=sin(2x+)+的图

4246像.

31综上得到y=cos2x+sinxcosx+1的图像。

22所以，当2x

说明：本题是2000年全国高考试题，属中档偏容易题，主要考查三角函数的图像和性质。这类题一般有两种解法：一是化成关于sinx,cosx的齐次式，降幂后最终化成y=a2b2sin (ωx+)+k的形式，二是化成某一个三角函数的二次三项式。本题（1）还可以解法如下：当cosx=0时，y=1；当cosx≠0时，1313cos2xsinxcosxtanx2y=2+1=222+1 22sinxcosx1tanx化简得：2(y－1)tan2x－3tanx+2y－3=0

37∵tanx∈R，∴△=3－8(y－1)(2y－3) ≥0,解之得：≤y≤

447∴ymax=，此时对应自变量x的值集为{x|x=kπ+,k∈Z}

46xxx例5．已知函数f(x)sincos3cos2.

333 （Ⅰ）将f(x)写成Asin(x)的形式，并求其图象对称中心的横坐标； （Ⅱ）如果△ABC的三边a、b、c满足b2=ac，且边b所对的角为x，试求x的范围及此时函数f(x)的值域.

解：f(x)1sin2x3(1cos2x)1sin2x3cos2x3sin(2x)3

2323232323322x2x3k1)=0即k(kz)得xkz 333323k1即对称中心的横坐标为，kz

22

（Ⅱ）由已知b=ac

a2c2b2a2c2ac2acac1cosx，2ac2ac2ac212x5cosx1，0x，23333952x2x3||||，sinsin()1，3sin()1，32923333323]. 即f(x)的值域为(3,123] . 综上所述，x(0,] ， f(x)值域为(3,123说明：本题综合运用了三角函数、余弦定理、基本不等式等知识，还需要利用数形结合的思想来解决函数值域的问题，有利于培养学生的运算能力，对知识进行整合的能力。

cosC3ac例6．在ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且， cosBb(1)求sinB的值；

（Ⅰ）由sin((2)若b42，且a=c，求ABC的面积。

解：(1)由正弦定理及

cosC3accosC3sinAsinC，有， cosBbcosBsinB即sinBcosC3sinAcosBsinCcosB，所以sin(BC)3sinAcosB，

又因为ABCπ，sin(BC)sinA，所以sinA3sinAcosB，因为sinA0，

221所以cosB，又0Bπ，所以sinB1cos2B。

332(2)在ABC中，由余弦定理可得a2c2ac32，又ac，

34所以有a232，即a224，所以ABC的面积为

311SacsinBa2sinB82。

22三角函数

一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)

1．已知点P（tanα，cosα）在第三象限，则角α的终边在 （ ）

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 kππkπ

2．集合M＝{x|x＝ ± ，k∈Z}与N＝{x|x＝ ，k∈Z}之间的关系是 （ ）

244A.MN B.NM C.M＝N D.M∩N＝

3．若将分针拨慢十分钟，则分针所转过的角度是 （ ）A.60°B.－60 C.30°D.－30° 4．已知下列各角（1）787°，(2)－957°，(3)－2°，(4)1711°，其中在第一象限的

角是( )A.（1）（2）B.（2）（3） C.（1）（3）D.（2）（4） 5．设a＜0，角α的终边经过点P（－3a，4a），那么sinα＋2cosα的值等于 （ ）

2

A. 5

21B.－ C.

55

1

D.－

5

133313

6．若cos(π＋α)＝－ ， π＜α＜2π，则sin(2π－α)等于（ ）A.－ B. C. D.±

2222227．若α是第四象限角,则π－α是 A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角

8．已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是 （ ）

A.2

B.

2

C.2sin1 sin1

D.sin2

1

9．如果sinx＋cosx＝ ，且0＜x＜π，那么cotx的值是 （ ）

5

4A.－

3

433 B.－ 或－ C.－

344

43

D. 或－

34

10．若实数x满足log2x＝2＋sinθ，则|x＋1|＋|x－10|的值等于 （ ）

A.2x－9 B.9－2x C.11 D.9 二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分) 11．tan300°＋cot765°的值是_____________. sinα＋cosα12．若 ＝2，则sinαcosα的值是_____________.

sinα－cosα

13．不等式（lg20)2cosx＞1，(x∈(0，π))的解集为_____________. 1

14．若θ满足cosθ＞－ ，则角θ的取值集合是_____________.

215．若cos130°＝a，则tan50°＝_____________. － 16．已知f(x)＝

1－xπ

，若α∈( ，π)，则f(cosα)＋f(－cosα)可化简为___________.

21＋x

三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（本小题满分12分）设一扇形的周长为C(C＞0)，当扇形中心角为多大时，它有最大面积？最大面积是多少？

18．(本小题满分14分）设90°＜α＜180°，角α的终边上一点为P（x，5 )，且cosα＝

2

x，求sinα与tanα的值. 4

m－34－2mπ

19．(本小题满分14分)已知 ≤θ≤π，sinθ＝ ，cosθ＝ ，求m的值.

2m＋5m＋5

20．(本小题满分15分)已知0°＜α＜45°，且lg(tanα)－lg(sinα)＝lg(cosα)－lg(cotα)＋2lg3 3

－ lg2，求cos3α－sin3α的值. 2

7

21．(本小题满分15分)已知sin(5π－α)＝2 cos( π＋β)和3 cos(－α)＝－2 cos(π＋β)，

2且0＜α＜π，0＜β＜π，求α和β的值.

三角函数

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1．下列函数中，最小正周期为π的偶函数是 （ ）

x

A.y＝sin2x B.y＝cos C.y＝sin2x＋cos2x

2

1－tan2xD.y＝

1＋tan2x

2．设函数y＝cos(sinx)，则 （ ）

A.它的定义域是［－1，1］B.它是偶函数C.它的值域是［－cos1，cos1］D.它不是周期函数 3．把函数y＝cosx的图象上的所有点的横坐标缩小到原来的一半，纵坐标扩大到原来的两

π

倍，然后把图象向左平移 个单位.则所得图象表示的函数的解析式为

4（ ）A.y＝2sin2x

πxπ

B.y＝－2sin2x C.y＝2cos(2x＋ ) D.y＝2cos( ＋ )

424

π

4．函数y＝2sin(3x－ )图象的两条相邻对称轴之间的距离是 （ ）

4

πA. 3

B.

2π

C.π 3

D.

4π

3

5．若sinα＋cosα＝m，且－2 ≤m＜－1，则α角所在象限是 （ ）

A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限 3π6．函数y＝|cotx|·sinx（0＜x≤ 且x≠π）的图象是 （ ）

2

cos2x

7．设y＝ ，则下列结论中正确的是( ）A.y有最大值也有最小值

1＋sinxB.y有最大值但无最小值C.y有最小值但无最大值 D.y既无最大值又无最小值 π

8．函数y＝sin（ －2x)的单调增区间是 （ ）

4

3πππ5π

A.［kπ－ ，kπ＋ ］(k∈Z) B.［kπ＋ ，kπ＋ ］(k∈Z)

8888

π3π3π7π

C.［kπ－ ，kπ＋ ］(k∈Z) D.［kπ＋ ，kπ＋ ］(k∈Z)

8888

1

9．已知0≤x≤π，且－ ＜a＜0，那么函数f(x)＝cos2x－2asinx－1的最小值是 （ ）

2

A.2a＋1

B.2a－1 C.－2a－1

D.2a

π

10．求使函数y＝sin(2x＋θ)＋3 cos(2x＋θ)为奇函数，且在［0， ］上是增函数的θ的一

4个值为 （ ）A.

5π4π2ππ

B. C. D. 3333

二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） cosx

11．函数y＝ 的值域是_____________.

1＋2cosx

cosx

12．函数y＝ 的定义域是_____________.

lg（1＋tanx）

13．如果x，y∈［0，π］，且满足|sinx|＝2cosy－2，则x＝___________，y＝___________. 14．已知函数y＝2cosx，x∈［0，2π］和y＝2，则它们的图象所围成的一个封闭的平面图形的面积是_____________

15．函数y＝sinx＋cosx＋sin2x的值域是_____________. π

16．关于函数f(x)＝4sin(2x＋ )(x∈R)有下列命题：

3

①由f(x1)＝f(x2)＝0可得x1－x2必是π的整数倍； π

②y＝f(x)的表达式可改为y＝4cos(2x－ )；

6π

③y＝f(x)的图象关于点（－ ，0)对称；

6π

④y＝f(x)的图象关于直线x＝－ 对称.

6

其中正确的命题的序号是_____________.

三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）如图为函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象的一部分，试求该函数的一个解析式. 18．（本小题满分14分）已知函数y＝(sinx＋cosx)2＋2cos2x.(x∈R)

(1)当y取得最大值时，求自变量x的取值集合.

(2)该函数图象可由y＝sinx(x∈R)的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？

19．（本小题满分14分）已知函数f(x)＝log1(sinx－cosx)

2（1）求它的定义域和值域；（2）求它的单调减区间；

（3）判断它的奇偶性；（4）判断它的周期性，如果是周期函数，求出它的一个周期. 20．（本小题满分15分）某村欲修建一横断面为等腰梯形的水渠（如图），为降低成本，必须尽量减少水与水渠壁的接触面.若水渠横断面面积设计为定值 m，渠深3米，则水渠侧

壁的倾斜角α应为多少时，方能使修建的成本最低？

21． (本小题满分15分）已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0，0≤φ≤π)是R上的偶函数，其3ππ

图象关于点M（ ，0)对称，且在区间［0， ］上是单调函数，求φ和ω的值.

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