常量与变量
变量的定义
我们在观察某一现象的过程时，常常会遇到各种不同的量，其中有的量在过程中不起变化,我们把其称之为常量；有的量在过程中是变化的，也就是可以取不同的数值，我们则把其称之为变量。
注：在过程中还有一种量，它虽然是变化的，但是它的变化相对于所研究的对象是极其微小的，我们则把它看作常量。 变量的表示
如果变量的变化是连续的，则常用区间来表示其变化围。 在数轴上来说，区间是指介于某两点之间的线段上点的全体。
区间的名称 闭区间 开区间 区间的满足的不等式 a≤x≤b a＜x＜b 区间的记号 [a，b] 区间在数轴上的表示 （a，b） 半开区间 a＜x≤b或a≤x＜b （a，b]或[a，b） 以上我们所述的都是有限区间，除此之外，还有无限区间：
[a，+∞)：表示不小于a的实数的全体，也可记为：a≤x＜+∞； (-∞，b)：表示小于b的实数的全体，也可记为：-∞＜x＜b； (-∞，+∞)：表示全体实数R，也可记为：-∞＜x＜+∞
注：其中-∞和+∞，分别读作\"负无穷大\"和\"正无穷大\它们不是数,仅仅是记号。 邻域
设α与δ是两个实数，且δ＞0.满足不等式│x-α│＜δ的实数x的全体称为点α的δ邻域，点α称为此邻域的中心，δ称为此邻域的半径。
函 数
函数的定义
如果当变量x在其变化围任意取定一个数值时，量y按照一定的法则总有确定的数值与它对应，则称y是x的函数。变量x的变化围叫做这个函数的定义域。通常x叫做自变量，y叫做因变量。
注：为了表明y是x的函数，我们用记号y=f(x)、y=F(x)等等来表示.这里的字母\"f\"、\"F\"表示y与x之间的对应法则即函数关系,它们是可以任意采用不同的字母来表示的.
注：如果自变量在定义域任取一个确定的值时，函数只有一个确定的值和它对应，这种函数叫做单值函数，否则叫做多值函数。这里我们只讨论单值函数。 函数的有界性
如果对属于某一区间I的所有x值总有│f(x)│≤M成立，其中M是一个与x无关的常数，那么我们就称f(x)在区间I有界，否则便称无界。
注意：一个函数，如果在其整个定义域有界，则称为有界函数 例题：函数cosx在(-∞,+∞)是有界的. 函数的单调性
如果函数时，有
在区间(a,b)随着x增大而增大，即：对于(a,b)任意两点x1及x2，当x1＜x2
则称函数 如果函数x2时，有
则称函数 例题：函数函数的奇偶性 如果函数
对于定义域的任意x都满足
=
在区间(a,b)是单调减小的。 在区间(a,b)是单调增加的。
，
在区间(a,b)随着x增大而减小，即：对于(a,b)任意两点x1及x2，当x1＜
，
=x在区间(-∞,0)上是单调减小的，在区间(0,+∞)上是单调增加的。
2
则
叫做偶函数；
对于定义域的任意x都满足
=-
，
如果函数
则
叫做奇函数。
，
注意：偶函数的图形关于y轴对称，奇函数的图形关于原点对称。 函数的周期性 对于函数
，若存在一个不为零的数l，使得关系式
的周期。
对于定义域任何x值都成立，则
叫做周期函数，l是
注：我们说的周期函数的周期是指最小正周期。 例题：函数
是以2π为周期的周期函数；函数tgx是以π为周期的周期函数。
反函数
反函数的定义 设有函数
，若变量y在函数的值域任取一值y0时，变量x在函数的定义域必有一
值x0与之对应，即 这个函数用
，那末变量x是变量y的函数. 来表示，称为函数
也是函数
的反函数.
的反函数。
注：由此定义可知，函数反函数的存在定理 若增(减).
注：严格增(减)即是单调增(减)
在(a，b)上严格增(减)，其值域为 R，则它的反函数必然在R上确定，且严格
例题：y=x，其定义域为(-∞,+∞)，值域为[0,+∞).对于y取定的非负值,可求得x=±
2
.
若我们不加条件，由y的值就不能唯一确定x的值，也就是在区间(-∞,+∞)上，函数不是严格增(减)，故其没有反函数。如果我们加上条件，要求x≥0，则对y≥0、x=x≥0时的反函数。即是：函数在此要求下严格增(减). 反函数的性质 在同一坐标平面， 例题：函数
与函数
与
的图形是关于直线y=x对称的。
互为反函数，则它们的图形在同一直角坐标系中是
就是y=x在要求
2
关于直线y=x对称的。如右图所
示： 复合函数的定义 若y是u的函数：部分在
及
量。
注：并不是任意两个函数就能复合；复合函数还可以由更多函数构成。 例题：函数
因为对于于或等于2）， 使
，而u又是x的函数：，且的函数值的全部或
的定义域，那末，y通过u的联系也是x的函数，我们称后一个函数是由函数
复合而成的函数，简称复合函数，记作
，其中u叫做中间变
与函数是不能复合成一个函数的。
的定义域(-∞,+∞)中的任何x值所对应的u值（都大
都没有定义。
初等函数
函数名称 指数函数 函数的记号 函数的图形 函数的性质 a):不论x为何值,y总为正数; b):当x=0时,y=1. a):其图形总位于y轴右对数函数 侧,并过(1,0)点 b):当a＞1时,在区间(0,1)的值为负；在区间(-,+∞)的值为正；在定义域单调增. 令a=m/n a):当m为偶数n为奇数幂函数 一部分。 三角函(正弦函数) a为任意实数 时,y是偶函数; b):当m,n都是奇数时,y是奇函数; (-∞,0)无意义. a):正弦函数是以2π为周期的周期函数 b):正弦函数是奇函数且 这里只画出部分函数图形的 c):当m奇n偶时,y在 这里只写出了正弦函数 数 反三角函数) a):由于此函数为多值函(反正弦函数,因此我们此函数值在[-π/2,π/2]上,并称其为反正弦函数的主值. 这里只写出了反正弦函数 数
初等函数
由基本初等函数与常数经过有限次的有理运算及有限次的函数复合所产生并且能用一个解析式表出的函数称为初等函数. 例题：
是初等函数。
双曲函数及反双曲函数
函数的名称 函数的表达式 函数的图形 函数的性质 a)：其定义域双曲正弦 为:(-∞,+∞)； b)：是奇函数； c)：在定义域是单调增 a)：其定义域双曲余弦 为:(-∞,+∞)； b)：是偶函数； c)：其图像过点(0,1)； a)：其定义域为:(-∞,+∞)； 双曲正切 b)：是奇函数； c)：其图形夹在水平直线y=1及y=-1之间；在定域 单调增； 双曲函数的性质 三角函数的性质 shx与thx是奇函数，chx是偶函数 sinx与tanx是奇函数，cosx是偶函数 它们都不是周期函数 双曲函数也有和差公式：
都是周期函数
反双曲函数
双曲函数的反函数称为反双曲函数. a)：反双曲正弦函数 b)：反双曲余弦函数
其定义域为：(-∞,+∞)； 其定义域为：[1,+∞)；
c)：反双曲正切函数
其定义域为：(-1,+1)；
数列的极限
数列
若按照一定的法则，有第一个数a1，第二个数a2，…，依次排列下去，使得任何一个正整数n对应着一个确定的数an，那末，我们称这列有次序的数a1，a2，…，an，…为数列. 数列中的每一个数叫做数列的项。第n项an叫做数列的一般项或通项. 注：我们也可以把数列an看作自变量为正整数n的函数，即：an=体正整数 数列的极限
一般地，对于数列
来说，
不
，它的定义域是全
若存在任意给定的正数ε(不论其多么小)，总存在正整数N，使得对于n＞N时的一切等式
都成立，那末就称常数a是数列 记作：
或
的极限，或者称数列
才能表达出收敛于a .
注：此定义中的正数ε只有任意给定，不等式的意思。
与a无限接近
且定义中的正整数N与任意给定的正数ε是有关的，它是随着ε的给定而选定的。
注：在此我们可能不易理解这个概念，下面我们再给出它的一个几何解释，以使我们能理解它。 数列
极限为a的一个几何解释：
在数轴上用它们的对应点表示出来，再在数轴上作点a
将常数a及数列
的ε邻域即开区间(a-ε，a+ε)，如下图所示：
因不等式在开区
间(a-ε，a+ε)，而只有有限个(至多只有N个)在此区间以外。 数列的有界性 对于数列
，若存在着正数M，使得一切
都满足不等式│
│≤M，则称数列
是有界
与不等式
等价，故当n＞N时，所有的点
都落
的，若正数M不存在，则可说数列
是无界的。
定理：若数列收敛，那末数列一定有界。
注：有界的数列不一定收敛，即：数列有界是数列收敛的必要条件，但不是充分条件。 例：数列 1，-1，1，-1，…，(-1)，… 是有界的，但它是发散的。
n+1
函数的极限
函数的极值有两种情况：a)：自变量无限增大；b)：自变量无限接近某一定点x0，如果在这时，函数值无限接近于某一常数A，就叫做函数存在极值。 函数的极限(分两种情况)
a):自变量趋向无穷大时函数的极限 定义： 设函数于适合不等式
，若对于任意给定的正数ε(不论其多么小)，总存在着正数X，使得对的一切x，所对应的函数值
都满足不等式
那末常数A就叫做函数
数列的极限的定义 存在数列与常数A 当x→∞时的极限，记作：
函数的极限的定义 存在函数与常数A 任给一正数ε＞0 总可找到一正整数N 对于n＞N的所有都满足则称数列记： 任给一正数ε＞0 总可找到一正数X 对于适合都满足函数记：的一切x 当x→∞时的极限为A ＜ε 当x→∞时收敛于A b):自变量趋向有限值时函数的极限 我们先来看一个例子.
例：函数多个
，当x→1时函数值的变化趋势如何？
函数在x=1处无定义.我们知道对实数来讲，在数轴上任何一个有限的围，都有无穷 点，为此我们把x→1时函数值的变化趋势用表列出,如下图:
从中我们可以看出x→1时，多接近.
或说：只要满足定义： 设函数其多么小)，
总存在正数δ，当0＜ 则称函数
＜δ时，
＜ε
在某点x0的某个去心邻域有定义，且存在数A，如果对任意给定的ε(不论＜δ
与2只差一个微量ε，就一定可以找到一个δ，当
＜δ时
→2.而且只要x与1有多接近，
就与2有
当x→x0时存在极限，且极限为A，记：
注：在定义中为什么是在去心邻域呢？
这是因为我们只讨论x→x0的过程，与x=x0出的情况无关。
此定义的核心问题是：对给出的ε，是否存在正数δ，使其在去心邻域的x均满足不等式。 用此极限的定义来证明函数的极限为 A，其证明方法是： a):先任取ε＞0； b):写出不等式
＜ε；
＜δ，若能；
＜δ时，
＜ε成立，因此
c):解不等式能否得出去心邻域0＜
d):则对于任给的ε＞0，总能找出δ，当0＜
函数极限的运算规则
若已知x→x0(或x→∞)时， 则：
.
推论：
在求函数的极限时，利用上述规则就可把一个复杂的函数化为若干个简单的函数来求极限。
例题：求
解答：
例题：求
此题如果像上题那样求解，则会发现此函数的极限不存在.我们通过观察可以发现此分式的分子和分母都没有极限，像这种情况怎么办呢？下面我们把它解出来。
解答：
注：通过此例题我们可以发现：当分式的分子和分母都没有极限时就不能运用商的极限的运算 规则了，应先把分式的分子分母转化为存在极限的情形，然后运用规则求之。
无穷大量和无穷小量
无穷大量
我们先来看一个例子：
已知函数穷大。
，当x→0时，可知，我们把这种情况称为趋向无
为此我们可定义如下： 设有函数y=总可找到正数δ，当
成立，
则称函数当
时为无穷大量。
时，
，在x=x0的去心邻域有定义，对于任意给定的正数N(一个任意大的数)，
记为：（表示为无穷大量，实际它是没有极限的）
无限趋大的定义：
同样我们可以给出当x→∞时，
设有函数y=可以找到正数M，当
，当x充分大时有定义，对于任意给定的正数N(一个任意大的数)，总
则称函数当x→∞时是无穷大量，记为：无穷小量
以零为极限的变量称为无穷小量。 定义：设有函数
时，成立，
，对于任意给定的正数ε(不论它多么小)，总存在正数δ(或正数
M)，使得对于适合不等式
的一切x，所对应的函数值满足不等式 则称函数
当
，
(或
)
(或x→∞)时 为无穷小量.
记作：(或)
注意：无穷大量与无穷小量都是一个变化不定的量，不是常量，只有0可作为无穷小量的唯一常量。
无穷大量与无穷小量的区别是：前者无界，后者有界，前者发散，后者收敛于0.
无穷大量与无穷小量是互为倒数关系的. 关于无穷小量的两个定理 定理一：如果函数
在
(或x→∞)时有极限A，则差
是当
(或x→∞)时的无穷小量，反之亦成立。
定理二：无穷小量的有利运算定理
a)：有限个无穷小量的代数和仍是无穷小量； b)：有限个无穷小量的积仍是无穷小量； c)：常数与无穷小量的积也是无穷小量.
无穷小量的比较
定义：设α，β都是
时的无穷小量，且β在x0的去心领域不为零，
a)：如果，则称α是β的高阶无穷小或β是α的低阶无穷小；
b)：如果，则称α和β是同阶无穷小；
c)：如果价)
，则称α和β是等价无穷小，记作：α∽β(α与β等
例：因为，所以当x→0时，x与3x是同阶无穷小；
因为，所以当x→0时，x是3x的高阶无穷小；
2
因为，所以当x→0时，sinx与x是等价无穷小
等价无穷小的性质
设，且存在，则.
注：这个性质表明：求两个无穷小之比的极限时，分子及分母都可用等价无穷小来代替，
因此我们可以利用这个性质来简化求极限问题。
例题：1.求
解答：当x→0时，sinax∽ax，tanbx∽bx，故：
例题： 2.求
解答：使用)
(代換只能在積商時
注：
問: 代換是否只可以x→0時的極限使用?
注：从这个例题中我们可以发现，作无穷小变换时，要代换式中的某一项，不能只代换某个因子
函数的一重要性质——连续性
在定义函数的连续性之前我们先来学习一个概念——增量
设变量x从它的一个初值x1变到终值x2，终值与初值的差x2-x1就叫做变量x的增量，记为：
△x
即：△x=x2-x1 增量△x可正可负. 我们再来看一个例子：函数时，函数y相 应地从
变到
，其对应的增量为：
在点x0的邻域有定义，当自变量x在领域从x0变到x0+△x
这个关系式的几何解释如下图：
现在我们可对连续性的概念这样描述：如果当△x趋向于零时，函数y对应的增量△y也趋向于零，
即： 那末就称函数函数连续性的定义： 设函数点x0处连续， 且称x0为函数的
的连续点.
在点x0的某个邻域有定义，如果有
称函数
在
在点x0处连续
下面我们结合着函数左、右极限的概念再来学习一下函数左、右连续的概念： 设函数
在区间(a,b]有定义，如果左极限
=
，那末我们就称函数
存在且等于
，
即： 设函数 即：
在点b左连续. 存在且等于在点a右连续.
，
在区间[a,b)有定义，如果右极限
=
，那末我们就称函数
一个函数在开区间(a,b)每点连续,则为在(a,b)连续，若又在a点右连续，b点左连续，则在闭区间[a，b]连续，如果在整个定义域连续，则称为连续函数。
注：一个函数若在定义域某一点左、右都连续，则称函数在此点连续，否则在此点不连续.
注：连续函数图形是一条连续而不间断的曲线。
通过上面的学习我们已经知道函数的连续性了，同时我们可以想到若函数在某一点要是不连续会出现什么情形呢？
函数的间断点
定义：我们把不满足函数连续性的点称之为间断点. 它包括三种情形：a)： b)： c)：间断点的分类
我们通常把间断点分成两类：如果x0是函数们把x0称为函数可去间断点 若x0是函数
的间断点，但极限
存在，那末x0是函数
≠
的第一类间断点。
的间断点，且其左、右极限都存在，我
在x0无定义； 在x→x0时无极限； 在x→x0时有极限但不等于
的第一类间断点；不是第一类间断点的任何间断点，称为第二类间断点.
此时函数不连续原因是：不存在或者是存在但。我们令
，则可使函数在点x0处连续，故这种间断点x0称为可去间断点
连续函数的性质及初等函数的连续性
连续函数的性质
函数的和、积、商的连续性
我们通过函数在某点连续的定义和极限的四则运算法则，可得出以下结论： a)：有限个在某点连续的函数的和是一个在该点连续的函数； b)：有限个在某点连续的函数的乘积是一个在该点连续的函数；
c)：两个在某点连续的函数的商是一个在该点连续的函数(分母在该点不为零)； 反函数的连续性 若函数
在某区间上单调增(或单调减)且连续，那末它的反函数
也在对应的区
间上单调增(单调减)且连续
例：函数[-1,1]上
在闭区间上单调增且连续，故它的反函数在闭区间
也是单调增且连续的。 复合函数的连续性 设函数连续，
那末复合函数
当x→x0时的极限也存在且等于
.
当x→x0时的极限存在且等于a，即：
.而函数
在点u=a
即：
例题：求
解答：
注：函数u=e连续，
可看作与复合而成，且函数在点
因此可得出上述结论。 设函数数
在点x=x0也是连续的 在点x=x0连续，且
，而函数
在点u=u0连续，那末复合函
初等函数的连续性
基本初等函数在它们的定义域都是连续的；一切初等函数在其定义域也都是连续的.
闭区间上连续函数的性质
最大值最小值定理
在闭区间上连续的函数一定有最大值和最小值。(在此不作证明) 例：函数y=sinx在闭区间[0，2π]上连续，
则在点x=π/2处，它的函数值为1，且大于闭区间[0，2π]上其它各点出的函数值；
则在点x=3π/2处，它的函数值为-1，且小于闭区间[0，2π]上其它各点出的函数值 介值定理
在闭区间上连续的函数一定取得介于区间两端点的函数值间的任何值。即：
，μ在α、β之间，则在[a，b]间一定有一个ξ，使
推论：
在闭区间连续的函数必取得介于最大值最小值之间的任何值。
