北京航空航天大学高等数学期末试题 （２０１６—２Ｏ１７学年第一学期期末） 一、填空题（每小题４分，共２Ｏ分） １．若¨ｍ ａＴｒｃｔａｎｘ－－ｘ—ｎ（＆≠０），ｋ— ０ Ｚ “一 ． ２．设 ＝＝＝ｘｌｎ、／ｒ ，贝４ 。。 （ｏ）一 ． ｓ．已知 一 州 一 ｆ ’一ｔ十ｌ， ４・曲幺戋｛ —ｆ ＼ ｄ ≤ ≤ 的 弧长为 ． ５．设一个物体沿直线飞行，速度 （单位：米／ 分）为时间ｆ（单位：分）的函数，表达式为 （ｆ）一 １＋２ ．若物体从ｔ＝＝＝０时刻出发，经过 分 钟飞行的路程为９Ｏ米． 二、单项选择题（每小题４分，共２０分） １．设曲线厂（ｚ）一ｚ ”（”为自然数）在点（１，１） 处的切线与３１＂轴的交点为（ｔ ，０），则ｌｉｍ（ｔ ） 一 （ ）． Ａ．ｅ ； Ｂ．ｅ； Ｃ．ｅ专； Ｄｅ寺．． ２．设 （ ）在（∞，＋ｏ。）连续，且 （ ）的图形 如下图所示，则， （ ）在（０（３，＋。。）有（ ）个 拐点． ／ ＼ （） ，、 ＿ Ｄ・对任意实数＆，ｂ，“≥６，Ｊｒ。“ ｆ（ ）ｄ－丁≥Ｊｒ。６ ｇ（ ）出 ５．设正项级数∑“ 收敛，则下列论断中错误 的是 （ ）． Ａ．∑“ 收敛； Ｂ．∑ 收敛； Ｊ卜１ 一１ ｃ．∑（一１） ‰收敛；Ｄ． 收盒ｌ［． 三、计算题（每小题６分，共１８分） ２ １． ｉｍ一ｏ ａ ． — ［ｎ ｘ２． ｉｍ ：＝） 一 ｄ一，ｄ 求 １ ＿＿＝ 四、求积分（每小题６分，共１２分） Ｌ ｊ 方 程 ｚ ’． ２．㈠ ＋ ）Ｊ ＼ｌ ｌ１ ＣＯＳ ．Ｔ ／ ｌｎ（１＋ ）ｄｘ．五、（８分）设函数／（＋ 一 ）一 ÷，填表并作图 单增区间 一 单减区问 凹区间 昕 确 凸区问 定 — — Ｏ ｊ 极小值点 渐近线 六、（８分）设平面图形是由直线Ｙ一 和抛物线 一 ｙ 所同成的封闭区域． １．计算此平面图形的面积Ａ； ２．将此平面图形绕直线 ＝＝＝一１旋转，求所得 旋转体的体积 ． 七、（８分）判断级数∑（一１）”ｎ ｓｉｎ 的敛散性，并 说明理由．若收敛，请判断是条件收敛还是绝对 收敛． 八、（６分）设厂（－１，）在ｚ＝＝＝０的某域Ｕ（０）可导， （Ｏ）≠ ｒ ０，且对任意的．７２∈ｕ（０）成立中值定理Ｉ＿厂（ ）ｄｔ— Ｊ ｏ １ ｆ（Ｏｘ） （０≤ ≤１），证明ｌｉａｒ０－－－ ． 北京航空航天大学高等数学期末试题参 一１・ 、一３，ｎ一一 １ ２－５０（９８）！・３・号・４・２ ５． ９ 二、Ｃ Ｄ Ｄ Ｂ Ｂ 竺 。． 一 ＝ｌ１ｍ —Ｌ１ｍ ２４ｘ ３．『＝ ， 一１， 一１．警一２（ ）） ．ｅ ＋ ｅ ＋ 一。 一Ｔ＿ （ （ｚ）），故 ２ （１＋ ｔｅ ）ｌ… ｅ ２ ｚｅ ＋ ｃ警 ＋ ｄ２ｙ．． ｄｅｙ一。 —ｚｅ２， 一 一等 四、．．』 ａ 一－『 ｃ 一丢Ｊ１ ｃ２ — １ ｍｎｃｓｅｃ２，；ｃ ＋ｃ ２１ （ ｉｎ（１＠Ｘ２ 一２ ｌｎ（１＋ｘ２ ｌｎ２』＿ 。Ｉｎ（１＋ ）ｄ 一 Ｉｎ（１＋ ）ｄ等一等Ｉｎ（１＋ ）ｆ 一＝２｛ 专ｄ 一了ｌｎ２号＿『 ．Ｚ ２ ＋ ｄ 一了ｌｎ２号（了１ 一 ，＋ａｒｃｔａｍ） 所以¨ ｈ。ｉｎ（ 一 ＋鲁｝ 五、 单增区间 （一∞０），ｌ １，＋ｏｏ） ，Ｌ＿４一 ９ ６ ３ 单减区间 凹区间 凸区间 （０，１］ （０，＋∞） （ ｏ。，０） 极小值点 渐近线 １ ２２＝０。ｖ—ｊ＋ｌ 六、１．交点（。，。 ，ｃ ，ｚ ．Ａ＝ （２ ＋Ｊ【 ＿１） （ 一 ０ 专）ｄｚ一（－；＿膏等）ｊ 一。４．或Ａ一』 ｃ ｚ — 。 ｄ 一÷ Ｊ ２ ＋ ｙ ｙ４一 （、 ＋ｚＪ 等）ｕ 】 ０ １ ， ． ・ ２ ｃ。ｓ ＜ １一 ２ ｃ。ｓ ７１， 或２ Ｉ（、／ 七 一 ｎ １０４ 一０，”一 ．令 — ≯１， 一 ７１ 故当 ＞２，ｙ ＜０，ｙ单调减少．所以 一？／ｓｉｎ 挖一 当 ＞２单调减少，根据莱布尼茨判别法知 ）＂ｎ ｓｉｎ １１） ｎ ｓｉｎ ”一 收敛 （一ｌ 一”ｓｉｎ ～ ，而塞 １发散，故 （一１． 条件收敛． ｎ＝１ ｆ’ １ １ ／ 、Ｆ（ ）一ｌ ｆ（ｔ）ｄｔ—Ｆ（ｏ）＋Ｆ （０）ｚ＋÷ （ｏ） ＋ｏ（ｘ。）一ｆ（０）ｘ＋÷ｆ （ｏ） ’。＋ｏ（ｘ。） （鼢） 厂（Ｏ）一 １ ｌ厂 （０） ＋。（ ）即＿厂（Ｏ）ｚ＋ １ （Ｏ） ＋。（ 。）一 （ ）ｚ那么当 ≠Ｏ时，／’，， ｉ于是 ｎ１ 鱼 上０ ３２＂一 一 一０ —＇（０） ｘ４－ｏ（ｘ）ｆ一 厂，（。），又由导数定义知 一 ｉ ０ 一 ０ ｚ ０ ，（Ｏ）ｌｉｍ０，所以 …ｒ ｎ 一 １－ｎ
