2010年福建省高考数学试卷（理科）
一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）
1．（5.00分）（2010•福建）计算sin137°cos13°+cos103°cos43°的值等于（ ） A． B．
C．
D．
2．（5.00分）（2010•福建）以抛物线y2=4x的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为（ ）
A．x2+y2+2x=0 B．x2+y2+x=0
C．x2+y2﹣x=0 D．x2+y2﹣2x=0
3．（5.00分）（2010•福建）设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1=﹣11，a4+a6=﹣6，则当Sn取最小值时，n等于（ ） A．6
B．7
C．8
D．9
的零点个数为（ ）
4．（5.00分）（2010•福建）函数f（x）=A．3
B．2
C．1
D．0
5．（5.00分）（2010•福建）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的i值等于（ ）
A．2
B．3 C．4 D．5
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6．（5.00分）（2010•福建）如图，若Ω是长方体ABCD﹣A1B1C1D1被平面EFGH截去几何体EFGHB1C1后得到的几何体，其中E为线段A1B1上异于B1的点，F为线段BB1上异于B1的点，且EH∥A1D1，则下列结论中不正确的是（ ）
A．EH∥FG B．四边形EFGH是矩形 C．Ω是棱柱
D．Ω是棱台
7．（5.00分）（2010•福建）若点O和点F（﹣2，0）分别是双曲线的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，则A．
B．
C．
的取值范围为（ ） D．
8．（5.00分）（2010•福建）设不等式组所表示的平面区域是Ω1，平
面区域是Ω2与Ω1关于直线3x﹣4y﹣9=0对称，对于Ω1中的任意一点A与Ω2中的任意一点B，|AB|的最小值等于（ ） A．
B．4
C．
D．2
9．（5.00分）（2010•福建）对于复数a，b，c，d，若集合S={a，b，c，d}具有性质“对任意x，y∈S，必有xy∈S”，则当
时，b+c+d等于（ ）
A．1 B．﹣1 C．0 D．i
10．（5.00分）（2010•福建）对于具有相同定义域D的函数f（x）和g（x），若存在函数h（x）=kx+b（k，b为常数）对任给的正数m，
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存在相应的x0∈D使得当x∈D且x＞x0时，总有，则称直线l：
y=ka+b为曲线y=f（x）和y=g（x）的“分渐进线”．给出定义域均为D={x|x＞1}的四组函数如下： ①f（x）=x2，g（x）==
④f（x）=
②f（x）=10﹣x+2，g（x）=，g（x）=2（x﹣1﹣e﹣x）
③f（x）=
，g（x）
其中，曲线y=f（x）和y=g（x）存在“分渐近线”的是（ ） A．①④
二、填空题（共5小题，每小题4分，满分20分）
11．（4.00分）（2010•福建）在等比数列{an}中，若公比q=4，前3项的和等于21，则该数列的通项公式an= ．
12．（4.00分）（2010•福建）若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，则其表面积等于 ．
B．②③
C．②④
D．③④
13．（4.00分）（2010•福建）某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮．假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率等于 ． 14．（4.00分）（2010•福建）已知函数（2x+φ）+1的图象的对称轴完全相同．若是 ．
15．（4.00分）（2010•福建）已知定义域为（0，+∞）的函数f（x）满足： （1）对任意x∈（0，+∞），恒有f（2x）=2f（x）成立； （2）当x∈（1，2]时f（x）=2﹣x给出结论如下： ①任意m∈Z，有f（2m）=0；
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和g（x）=2cos
，则f（x）的取值范围
②函数f（x）的值域为[0，+∞）； ③存在n∈Z，使得f（2n+1）=9；
④“函数f（x）在区间（a，b）上单调递减”的充要条件是“存在k∈Z，使得（a，b）⊆（2k﹣1，2k）．
其中所有正确结论的序号是 ．
三、解答题（共6小题，满分80分）
16．（13.00分）（2010•福建）将甲、乙两颗骰子先后各抛一次，a，b分别表示抛掷甲、乙两颗骰子所出的点数．
（Ⅰ）若点P（a，b）落在不等式组表示的平面域的事件记为A，求事
件A的概率；
（Ⅱ）若点P（a，b）落在x+y=m（m为常数）的直线上，且使此事件的概率最大，求m的值及最大概率．
17．（13.00分）（2010•福建）已知中心在坐标原点O的椭圆C经过点A（2，3），且点F（2，0）为其右焦点． （1）求椭圆C的方程；
（2）是否存在平行于OA的直线l，使得直线l与椭圆C有公共点，且直线OA与l的距离等于4？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由． 18．（13.00分）（2010•福建）如图，圆柱OO1内有一个三棱柱ABC﹣A1B1C1，三棱柱的底面为圆柱底面的内接三角形，且AB是圆O的直径． （1）证明：平面A1ACC1⊥平面B1BCC1；
（2）设AB=AA1，在圆柱OO1内随机选取一点，记该点取自于三棱柱ABC﹣A1B1C1内的概率为P．当点C在圆周上运动时，记平面A1ACC1与平面B1OC所成的角为θ（0°＜θ≤90°），当P取最大值时，求cosθ的值．
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19．（13.00分）（2010•福建）某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上．在小艇出发时，轮船位于港口O北偏西30°且与该港口相距20海里的A处，并以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶．假设该小船沿直线方向以v海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇． （1）若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？ （2）假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，试设计航行方案（即确定航行方向与航行速度的大小），使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由．
20．（14.00分）（2010•福建）已知函数f（x）=x3﹣x，其图象记为曲线C． （1）求函数f（x）的单调区间；
（2）证明：若对于任意非零实数x1，曲线C与其在点P1（x1，f（x1））处的切线交于另一点P2（x2，f（x2）），曲线C与其在点P2（x2，f（x2））处的切线交于另一点P3（x3，f（x3）），线段P1P2，P2P3与曲线C所围成封闭图形的面积分别记为S1，S2，则
为定值．
21．（14.00分）（2010•福建）本题设有（1）（2）（3）三个选考题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分．如果多做，则按所做的前两题计分．作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中． （1）已知矩阵M=
，
，且
，
（Ⅰ）求实数a，b，c，d的值；（Ⅱ）求直线y=3x在矩阵M所对应的线性变换下的像的方程．
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（2）在直角坐标系xoy中，直线l的参数方程为（t为参数）．在极
坐标系（与直角坐标系xoy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为
．
（Ⅰ）求圆C的直角坐标方程；（Ⅱ）设圆C与直线l交于点A、B，若点P的坐标为
，
求|PA|+|PB|．
（3）已知函数f（x）=|x﹣a|．
（Ⅰ）若不等式f（x）≤3的解集为{x|﹣1≤x≤5}，求实数a的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若f（x）+f（x+5）≥m对一切实数x恒成立，求≤
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2010年福建省高考数学试卷（理科）
参
一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）
1．A；2．D；3．A；4．B；5．C；6．D；7．B；8．B；9．B；10．C；
二、填空题（共5小题，每小题4分，满分20分） 11．4n﹣1；12．
三、解答题（共6小题，满分80分）
16． ；17． ；18． ；19．；20． ；21． ；
；13．0.128；14．
；15．①②④；
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