一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．函数f（x）=A．（﹣∞，2） 2．己知复数z=
+lg（6﹣3x）的定义域为（ ）
B．（2，+∞） C．[﹣1，2） D．[﹣1，2] （a∈R，i是虚数单位）是纯虚数，则|z|为（ ）
A． B． C．6 D．3
3．“p∧q是真命题”是“p∨q是真命题”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
﹣2α）=（ ）
4．已知sinα﹣cosα=，则cos（
A．﹣ B． C． D．
5．己知0＜a＜b＜l＜c，则（ ） A．a＞a
b
a
B．c＞c
ab
C．logac＞logbc D．logbc＞logb a
6．中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年 商鞅督造一种标准量器﹣﹣商鞍铜方升，其三视图如图所示（单位：升），则此量器的体积为（单位：立方升）（ ）
A．14 B．12+ C．12+π D．38+2π
7．设计如图的程序框图，统计高三某班59位同学的数学平均分，输出不少于平均分的人数 （用j表示），则判断框中应填入的条件是（ ）
A．i＜58？ B．i≤58？ C．j＜59？ D．j≤59？
8．某撤信群中四人同时抢3个红包，每人最多抢一个，则其中甲、乙两人都抢到红包的概率为（ ）
A． B． C． D．
9．己知实数x，y满足不等式组，若z=x﹣2y的最小值为﹣3，则a的值
为（ ） A．1
B． C．2
2
D．
x
10．函数f（x）=x﹣（）的大致图象是（ ）
A． B． C． D．
11．已知一长方体的体对角线的长为l0，这条对角线在长方体一个面上的正投影长为8，则这个长方体体积的最大值为（ ） A． B．128 C．192 D．384 12．已知函数f（x）=sin
2
+sinωx﹣（ω＞0），x∈R，若f（x）在区间（π，2π）
内有零点，则ω的取值范围是（ ） A．（，）∪（，+∞）
B．（0，]∪[，1） C．（，）∪（，）
D．（，）∪（，+∞）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案填写在答题卡相应的横线上.
13．已知向量=（x﹣1，2），=（2，x﹣1）满足
2
2
=﹣||•||，则x= ．
14．已知直线3x﹣4y﹣6=0与圆x+y﹣2y+m=0（m∈R）相切，则m的值为 ． 15．在△ABC中，已知
与
的夹角为150°，|
|=2，则|
|的取值范围是 ．
16．己知双曲线﹣=1（b＞0）的离心率为，F1，F2时双曲线的两个焦点，A
为左顶点、B（0，b），点P在线段AB上，则
•的最小值为 ．
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（12分）已知数列{an}中，a1=1，an+1=
+n+1．
（I）求证：数列{+1}是等比教列．
（II）求数列{an}的前n项和为Sn．
18．（12分）己知图1中，四边形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，EF∥CD，O、Q分别为线段AB，CD的中点，OQ与EF的交点为P，OP=1，PQ=2，现将梯形ABCD沿EF折起，使得OQ=
，连结AD，BC，得一几何体如图2示．
（I）证明：平面ABCD⊥平面ABFE；
（II）若图1中．∠A=45°，CD=2，求平面ADE与平面BCF所成锐二面角的余弦值．
19．（12分）某学校在一次第二课堂活动中，特意设置了过关智力游戏，游戏共五关．规定第一关没过者没奖励，过n（n∈N*）关者奖励2
n﹣1
件小奖品（奖品都一样）．如
图是小明在10次过关游戏中过关数的条形图，以此频率估计概率． （Ⅰ）估计小明在1次游戏中所得奖品数的期望值； （II）估计小明在3次游戏中至少过两关的平均次数； （Ⅲ）估计小明在3次游戏中所得奖品超过30件的概率．
20．（12分）己知椭圆+=1（a＞b＞0）与抛物线y=2px（p＞0）共焦点F2，抛
2
物线上的点M到y轴的距离等于|MF2|﹣1，且椭圆与抛物线的交点Q满足|QF2|=． （I）求抛物线的方程和椭圆的方程；
（II）过抛物线上的点P作抛物线的切线y=kx+m交椭圆于A，B两点，设线段AB的中点为C（x0，y0），求x0的取值范围．
21．（12分）设函数f（x）=（x﹣a）（a∈R），g（x）=lnx，
（I）试求曲线F（x））=f（x）+g（x）在点（1，F（1））处的切线l与曲线F（x）的公共点个数；
（II）若函数G（x）=f（x）．g（x）有两个极值点，求实数a的取值范围．
2
（附：当a＜0，x趋近于0时，2lnx﹣趋向于+∞）
三、请考生在第（12）、（23）題中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一个题目计分.[选修4-4:坐标系与参数方程]
22．（10分）在直角坐标系xOy中，已知直线l1：y=tanα•x（0≤a＜π，α
），
抛物线C：标系
（t为参数）．以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐
（Ⅰ）求直线l1和抛物线C的极坐标方程；
（Ⅱ）若直线l1和抛物线C相交于点A（异于原点O），过原点作与l1垂直的直线l2，l2和抛物线C相交于点B（异于原点O），求△OAB的面积的最小值．
五、[选修4-5：不等式选讲]（共1小题，满分0分） 23．己知函数f（x）=|2|x|﹣1|． （I）求不等式f（x）≤1的解集A；
（Ⅱ）当m，n∈A时，证明：|m+n|≤mn+1．
参与试题解析
一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．函数f（x）=A．（﹣∞，2）
+lg（6﹣3x）的定义域为（ ）
B．（2，+∞） C．[﹣1，2） D．[﹣1，2]
【考点】33：函数的定义域及其求法．
【分析】根据二次根式以及对数函数的性质求出函数的定义域即可． 【解答】解：由题意得：解得：﹣1≤x＜2，
故函数的定义域是[﹣1，2）， 故选：C．
【点评】本题考查了求函数的定义域问题，考查二次根式以及对数函数的性质，是一道基础题．
2．己知复数z=
（a∈R，i是虚数单位）是纯虚数，则|z|为（ ）
，
A． B． C．6 D．3
【考点】A8：复数求模．
【分析】利用复数的运算法则、纯虚数的定义、模的计算公式即可得出． 【解答】解：复数z=纯虚数， ∴
=0，
≠0．
=
=
（a∈R，i是虚数单位）是
解得a=﹣6． ∴z=3i． 则|z|=3． 故选：D．
【点评】本题考查了复数的运算法则、纯虚数的定义、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
3．“p∧q是真命题”是“p∨q是真命题”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【考点】2E：复合命题的真假；29：充要条件．
【分析】由真值表可知若p∧q为真命题，则p、q都为真命题，从而p∨q为真命题，反之不成立，从而求解．
【解答】解：：∵p∨q为真命题，则p、q中只要有一个命题为真命题即可，p∧q为真命题，则需两个命题都为真命题，
∴p∨q为真命题不能推出p∧q为真命题，而p∧q为真命题能推出p∨q为真命题 ∴“p∧q是真命题”是“p∨q是真命题”的充分不必要条件， 故选A．
【点评】本题考查了利用充要条件定义判断充分必要性的方法，利用真值表判断命题真假的方法，熟记真值表是解决本题的关键．
4．已知sinα﹣cosα=，则cos（
﹣2α）=（ ）
A．﹣ B． C． D．
【考点】GT：二倍角的余弦；GI：三角函数的化简求值．
【分析】由已知，利用二倍角公式可求sin2α的值，进而利用诱导公式即可化简求值得解．
【解答】解：∵sinα﹣cosα=，
∴两边平方，可得：1﹣2sinαcosα=，可得：1﹣sin2α=，
﹣2α）=sin2α=．
∴cos（
故选：C．
【点评】本题主要考查了二倍角公式，诱导公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
5．己知0＜a＜b＜l＜c，则（ ） A．a＞a
b
a
B．c＞c
ab
C．logac＞logbc D．logbc＞logb a
【考点】4M：对数值大小的比较．
【分析】利用指数函数、对数函数的单调性即可判断出正误．
【解答】解：∵0＜a＜b＜l＜c，则a＜a，c＜c，logac＞logbc，logbc＞logba． 故选：C．
【点评】本题考查了指数函数、对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
6．中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年 商鞅督造一种标准量器﹣﹣商鞍铜方升，其三视图如图所示（单位：升），则此量器的体积为（单位：立方升）（ ）
b
a
a
b
A．14 B．12+ C．12+π D．38+2π
【考点】L!：由三视图求面积、体积．
【分析】该几何体为一底面半径为、高为2的圆柱与一长、宽、高分别为4、3、1
的长方体的组合，由此能求出此量器的体积．
【解答】解：由三视图得到该几何体为一底面半径为、高为2的圆柱 与一长、宽、高分别为4、3、1的长方体的组合，如右图， 故此量器的体积为：V=
=．
故选：B．
【点评】本题考查三视图与几何体的直观图的关系，几何体的体积的求法，考查计算能力与空间想象能力，是基础题．
7．设计如图的程序框图，统计高三某班59位同学的数学平均分，输出不少于平均分的人数 （用j表示），则判断框中应填入的条件是（ ）
A．i＜58？ B．i≤58？ C．j＜59？ D．j≤59？ 【考点】EF：程序框图．
【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，由程序框图知：要想判断所有59位学生的成绩ai≥b（i=1，2，3，…59）是否成立，判断框中应填入的条件是i≤58？ 【解答】解：由程序框图知：
先输入59位同学的数学成绩，并求出平均分b，
然后依次判断59名学生的成绩ai≥b（i=1，2，3，…59）是否成立， 若成立，j=j+1，再判断下一位，若不成立，直接判断下一位，
由此得到要想判断所有59位学生的成绩ai≥b（i=1，2，3，…59）是否成立， 判断框中应填入的条件是i≤58？
故选：B．
【点评】根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中既要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模．
8．某撤信群中四人同时抢3个红包，每人最多抢一个，则其中甲、乙两人都抢到红包的概率为（ ）
A． B． C． D．
【考点】CB：古典概型及其概率计算公式． 【分析】3个红包分配给四人共有
种分法，“甲、乙两人都抢到红包”指从3个红
包中选2个分配给甲、乙，其余1个分配给另外二人，甲、乙两人都抢到红包的概率．
【解答】解：3个红包分配给四人共有
种分法，
“甲、乙两人都抢到红包”指从3个红包中选2个分配给甲、乙，其余1个分配给另外二人，
∴甲、乙两人都抢到红包的概率：
p===．
∴甲、乙两人都抢到红包的概率为． 故选：D．
【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．
9．己知实数x，y满足不等式组，若z=x﹣2y的最小值为﹣3，则a的值
为（ ） A．1
B． C．2
D．
【考点】7C：简单线性规划．
【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的最值列出方程，求解即可．
【解答】解：实数x，y满足不等式组的可行域如图，
当直线z=x﹣2y过点A（a﹣2，a）时，z取得最小值，即a﹣2﹣2a=﹣3可得 a=1．
故选：A．
【点评】本题考查线性规划的简单应用，考查数形结合以及计算能力．
10．函数f（x）=x﹣（）的大致图象是（ ）
2
x
A． B． C． D．
【考点】3O：函数的图象．
【分析】利用f（0），f（﹣2），f（﹣4）的函数值，排除选项即可推出结果． 【解答】解：由f（0）=﹣1可排除（D），由f（﹣2）=4﹣4=0，f（﹣4）=16﹣16=0，可排（A）（C）， 故选B．
【点评】本题考查函数的图象的判断，特殊点的应用，考查计算能力．
11．已知一长方体的体对角线的长为l0，这条对角线在长方体一个面上的正投影长
为8，则这个长方体体积的最大值为（ ） A． B．128 C．192 D．384
【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．
【分析】以投影面为底面，得正方体的高为6，设长方体底面边长分别为a，b，则a+b=，由此能求出这个长方体体积的最大值． 【解答】解：以投影面为底面，得到正方体的高为设长方体底面边长分别为a，b， 则a+b=，
∴这个长方体体积V=6ab≤3（a+b）=192． ∴这个长方体体积的最大值为192． 故选：C．
【点评】本题考查长方体的体积的最大值的求法，考查基本不等式、长方体性质等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题．
12．已知函数f（x）=sin
2
2
2
2
2
2
2
=6，
+sinωx﹣（ω＞0），x∈R，若f（x）在区间（π，2π）
内有零点，则ω的取值范围是（ ） A．（，）∪（，+∞）
B．（0，]∪[，1） C．（，）∪（，）
D．（，）∪（，+∞）
【考点】54：根的存在性及根的个数判断．
【分析】利用两角和与差的三角函数化简函数的解析式，利用零点求出x的值，然后利用特殊值排除选项推出结果即可． 【解答】解：f（x）=
=
sin （ωx﹣
），由f（x）=0，可得
x=（k∈Z），
∈（π，2π），排除（B）、（C），
，…
令ω=2得函数f（x）有一零点x=
令得函数f（x）在（0，+∞）上的零点从小到大为：x1=，x2
显然x1∉（π，2π），x2∉（π，2π），可排除（A）， 故选：D．
【点评】本题考查函数的零点的判断与应用，三角函数的化简求值，考查转化思想．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案填写在答题卡相应的横线上.
13．已知向量=（x﹣1，2），=（2，x﹣1）满足【考点】9R：平面向量数量积的运算． 【分析】由
便可得出
的方向相反，即有
，这样根据平行向
=﹣||•||，则x= ﹣1 ．
量的坐标关系即可求出x值，并满足【解答】解：
；
方向相反，从而确定x的值．
∴∴∴
夹角为π； ，且
2
；
方向相反；
∴（x﹣1）﹣4=0；
∴x﹣1=﹣2，或x﹣1=2（舍去）； ∴x=﹣1． 故答案为：﹣1．
【点评】考查向量数量积的计算公式，已知余弦值求角，向量夹角的概念，以及平行向量的坐标关系．
14．已知直线3x﹣4y﹣6=0与圆x+y﹣2y+m=0（m∈R）相切，则m的值为 ﹣3 ．
2
2
【考点】J7：圆的切线方程．
【分析】利用直线3x﹣4y﹣6=0与圆x+y﹣2y+m=0（m∈R）相切，根据点到直线的距离公式，建立方程，即可得到结论．
【解答】解：圆x+y﹣2y+m=0可化为x+（y﹣1）=1﹣m，圆心为（0，1），半径r=
，
2
2
2
2
2
2
2
2
由题意，直线3x﹣4y﹣6=0与圆x+y﹣2y+m=0（m∈R），可得∴m=﹣3． 故答案为：﹣3．
=，
【点评】本题考查直线与圆相切，考查点到直线的距离公式，考查学生的计算能力，属于基础题．
15．在△ABC中，已知4] ．
【考点】9S：数量积表示两个向量的夹角． 【分析】与可得
的夹角为150°，|可得∠B=30°．由正弦定理可得：
°
与的夹角为150°，||=2，则||的取值范围是 （0，
==4，
=4sinC，利用0＜C＜150，即可得出．
与
的夹角为150°，|可得∠B=30°． =
=4，可得．
=4sinC，
【解答】解：
由正弦定理可得：又0＜C＜150，可得：故答案为：（0，4]．
°
【点评】本题考查了正弦定理、向量夹角、三角函数的单调性与值域，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
16．己知双曲线
﹣
=1（b＞0）的离心率为
，F1，F2时双曲线的两个焦点，A
为左顶点、B（0，b），点P在线段AB上，则【考点】KC：双曲线的简单性质．
•的最小值为 ﹣ ．
【分析】设P（x，y）推出通过垂直整合求解最小值即可．
=（﹣﹣x，﹣y）（﹣x，﹣y）=x+y﹣5，
22
【解答】解：双曲线﹣=1（b＞0）的离心率为，A为左顶点、可得a=2，则
c=，b==1，
=（﹣
2
2
设P（x，y）则﹣x，﹣y）（﹣x，﹣y）=x+y﹣5，
2
2
22
显然，当OP⊥AB时，x+y取得最小值，由面积法易得（x+y）min=，故点P在线段AB上， 则
•
的最小值为：
．
故答案为：﹣．
【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（12分）（2017•揭阳二模）已知数列{an}中，a1=1，an+1=
+n+1．
（I）求证：数列{+1}是等比教列．
（II）求数列{an}的前n项和为Sn．
【考点】8H：数列递推式；8E：数列的求和． 【分析】（I）an+1=
+n+1，可得
+1=2
，即可证明．数列{
+1}
是等比教列，公比为2，首项为2． （II）由（I）可得：
+1=2，可得an=n•2﹣n．利用错位相减法、等比数列的求和
n
n
公式及其等差数列的求和公式即可得出． 【解答】（I）证明：∵an+1=
+n+1，∴
=
+1，
∴+1=2，
∴数列{+1}是等比教列，公比为2，首项为2．
（II）解：由（I）可得：
n
+1=2，可得an=n•2﹣n．
n
n
设数列{n•2}的前n项和为Tn． 则Tn=2+2×2+3×2+…+n•2，
2
3
n
2Tn=2+2×2+…+（n﹣1）•2+n•2，
2
3
n
n+1
相减可得：﹣Tn=2+2+…+2﹣n•2=
2
n
n+1﹣n•2，
n+1
可得：Tn=（n﹣1）•2+2．
n+1
∴Sn=（n﹣1）•2+2﹣
n+1．
【点评】本题考查了错位相减法、等比数列与等差数列的通项公式及其求和公式、数列递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
18．（12分）（2017•揭阳二模）己知图1中，四边形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，
EF∥CD，O、Q分别为线段AB，CD的中点，OQ与EF的交点为P，OP=1，PQ=2，现将梯形ABCD沿EF折起，使得OQ=
，连结AD，BC，得一几何体如图2示．
（I）证明：平面ABCD⊥平面ABFE；
（II）若图1中．∠A=45°，CD=2，求平面ADE与平面BCF所成锐二面角的余弦值． 【考点】MT：二面角的平面角及求法；LY：平面与平面垂直的判定．
【分析】（Ⅰ）推导出OP⊥EF、PQ⊥EF，OQ⊥OP，从而EF⊥平面OPQ，进而EF⊥OQ，OQ⊥平面ABFE，由此能证明平面ABCD⊥平面ABFE．
（Ⅱ）以O为原点，PO所在的直线为x轴建立空间直角坐标系O﹣xyz，利用向量法能求出平面ADE与平面BCF所成锐二面角的余弦值．
【解答】证明：（Ⅰ）在图3中，四边形ABCD为等腰梯形， O、Q分别为线段AB、CD的中点， ∴OQ为等腰梯形ABCD的对称轴，
又AB∥EF∥CD，∴OP⊥EF、PQ⊥EF，①（2分） 在图4中，∵OQ+OP=PQ， ∴OQ⊥OP，（3分）
由①及OP∩PQ=P，得EF⊥平面OPQ，∴EF⊥OQ，（4分）
2
2
2
又OP∩EF=P，∴OQ⊥平面ABFE， 又OQ⊂平面ABCD，
∴平面ABCD⊥平面ABFE．（6分）
解：（Ⅱ）在图4中，由∠A=45°，CD=2，解得PE=PF=3，AO=OB=4，（7分） 以O为原点，PO所在的直线为x轴建立空间直角坐标系O﹣xyz，如图所示， 则B（0，4，0）、F（﹣1，3，0）、C（0，1，∴
=（﹣1，﹣1，0），
=（0，﹣3，
），
），（8分）
设=（x，y，z）是平面BCF的一个法向量，
则，取z=3，得=（﹣，3），（9分）
同理可得平面ADE的一个法向量=（﹣设所求锐二面角的平面角为θ， 则cosθ=|cos＜，＞|=
=
=，
），（10分）
所以平面ADE与平面BCF所成锐二面角的余弦值为．（12分）
【点评】本题考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题．
19．（12分）（2017•揭阳二模）某学校在一次第二课堂活动中，特意设置了过关智力游戏，游戏共五关．规定第一关没过者没奖励，过n（n∈N*）关者奖励2
n﹣1
件小
奖品（奖品都一样）．如图是小明在10次过关游戏中过关数的条形图，以此频率估计概率．
（Ⅰ）估计小明在1次游戏中所得奖品数的期望值； （II）估计小明在3次游戏中至少过两关的平均次数； （Ⅲ）估计小明在3次游戏中所得奖品超过30件的概率．
【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差；B8：频率分布直方图；CG：离散型随机变量及其分布列．
【分析】（Ⅰ）设小明在1次游戏中所得奖品数为ξ，根据题意写出ξ 的分布列， 计算期望值；
（Ⅱ）设小明在3次游戏中至少过两关的次数为X，则X～B（3，0.7）， 计算E（X）即可；
（Ⅲ）计算小明在3次游戏中所得奖品超过30件的概率值即可．
【解答】解：（Ⅰ）设小明在1次游戏中所得奖品数为ξ，则ξ 的分布列为 ξ P
0 0.1
1 0.2
2 0.3
4 0.2
8 0.1
16 0.1
﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）
ξ 的期望值为E（ξ ）=0×0.1+1×0.2+2×0.3+4×0.2+8×0.1+16×0.1=4；﹣﹣﹣﹣﹣（4分） （Ⅱ）小明在1次游戏中至少过两关的概率为0.7，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ 设小明在3次游戏中至少过两关的次数为X，可知X～B（3，0.7）， 则X的平均次数E（X）=3×0.7=2.1；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分） （Ⅲ）小明在3次游戏中所得奖品超过30件含三类：
恰好一次ξ=16和两次ξ=8，恰好二次ξ=16，恰好三次ξ=16，﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分） •P（ξ=16）•P（ξ=8）2=3×0.1×0.12=0.003，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分
•P（ξ=16）2•P（ξ≠16）=3×0.12×（1﹣0.1）=0.027，﹣﹣﹣﹣﹣（10分） •P（ξ=16）3=0.13=0.001；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（11分）
所以小明在3次游戏中所得奖品超过30件的概率为P=0.003+0.027+0.001=0.031．﹣
﹣﹣﹣﹣﹣（12分）
【点评】本题考查了离散型随机变量的分布列与数学期望的计算问题，是综合题．
20．（12分）（2017•揭阳二模）己知椭圆
+
=1（a＞b＞0）与抛物线y=2px（p
2
＞0）共焦点F2，抛物线上的点M到y轴的距离等于|MF2|﹣1，且椭圆与抛物线的交点Q满足|QF2|=．
（I）求抛物线的方程和椭圆的方程；
（II）过抛物线上的点P作抛物线的切线y=kx+m交椭圆于A，B两点，设线段AB的中点为C（x0，y0），求x0的取值范围．
【考点】KP：圆锥曲线的范围问题；K3：椭圆的标准方程；K7：抛物线的标准方程．
【分析】（I）利用抛物线上的点M到y轴的距离等于|MF2|﹣1，通过抛物线的定义，转化解得p=2，得到抛物线的方程，通过椭圆的右焦点F2（1，0），左焦点F1（﹣1，0），由|QF2|=，解得Q（，
）利用椭圆的定义求出a，b．求解椭圆的方程．
（II）显然k≠0，m≠0，由消去x，推出km=1，由消去y，推出
9k﹣m+8＞0，求出0＜m＜9，设A（x1，y1），B（x2，y2），结合韦达定理求解x0的取值范围．
【解答】解：（I）∵抛物线上的点M到y轴的距离等于|MF2|﹣1，
222
∴点M到直线x=﹣1的距离等于点M到焦点F2的距离，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（1分）
得x=﹣1是抛物线y=2px的准线，即﹣=﹣1，解得p=2，∴抛物线的方程为y=4x；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）
可知椭圆的右焦点F2（1，0），左焦点F1（﹣1，0），由|QF2|=，得xQ+1=，又yQ=4xQ，
2
2
2
解得Q（，），﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）
由椭圆的定义得2a=|QF1|+|QF2|=+=6，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
∴a=3，又c=1，得b=a﹣c=8，∴椭圆的方程为﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分） （II）显然k≠0，m≠0，由
消去x，得ky﹣4y+4m=0，
2
2
2
2
．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
由题意知△=16﹣16km=0，得km=1，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）
由消去y，得（9k+8）x+18kmx+9m﹣72=0，
222
其中△2=（18km）﹣4（9k+8）（9m﹣72）＞0，
化简得9k﹣m+8＞0，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
2
2
222
﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分
又k=，得m﹣8m﹣9＜0，解得0＜m＜9，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）
设A（x1，y1），B（x2，y2），则x0=
=﹣
＜0，
4
2
2
由k=
2
＞，得x0＞﹣1，∴x0的取值范围是（﹣1，0）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
﹣﹣﹣（12分）
【点评】本题考查椭圆以及抛物线的简单性质的应用，范围问题的处理方法，考查转化思想以及计算能力．
21．（12分）（2017•揭阳二模）设函数f（x）=（x﹣a）（a∈R），g（x）=lnx，
2
（I）试求曲线F（x））=f（x）+g（x）在点（1，F（1））处的切线l与曲线F（x）的公共点个数；
（II）若函数G（x）=f（x）．g（x）有两个极值点，求实数a的取值范围． （附：当a＜0，x趋近于0时，2lnx﹣趋向于+∞）
【考点】6D：利用导数研究函数的极值；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程． 【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，计算F（1），F′（1），求出切线方程，联立方程组得到得x﹣3x+lnx+2=0，设h（x）=x﹣3x+lnx+2，根据函数的单调性判断即可； （Ⅱ）设r（x）=2lnx+1﹣，通过讨论a的范围，结合函数的单调性确定a的范围即
2
2
可．
2
【解答】解：（Ⅰ）∵F（1）=（1﹣a），F′（x）=2（x﹣a）+，
切线l的斜率是F′（1）=3﹣2a，
故切线方程是y﹣（1﹣a）=（3﹣2a）（x﹣1）， 即y=（3﹣2a）x+a﹣2， 联立y=F（x）=（x﹣a）+lnx， 得x﹣3x+lnx+2=0， 设h（x）=x﹣3x+lnx+2， 则h′（x）=
，
2
2
2
2
2
由h′（x）＞0以及x＞0，得0＜x＜或x＞1，
故h（x）在（0，）和（1，+∞）递增，
故h（x）在（，1）递减，
又h（1）=0，h（）=﹣＜0，
故存在x0∈（0，），h（x0）=0， 故方程x﹣3x+lnx+2=0有2个根：1和x0， 从而切线l和曲线F（x）有2个公共点；
（Ⅱ）由题意得G（x）=（x﹣a）（2lnx+1﹣）=0在（0，+∞）至少有2个不同的
2
根，
设r（x）=2lnx+1﹣，
①a＞0时，x1=a是G′（x）=0的根，
由y=2lnx+1与y=（a＞0）恰有1个公共点，
可知2lnx+1﹣=0恰有1根x2， 由x2=x1=a得a=1，不合题意，
故a＞0且a≠1时，检验可知x1=a和x2是G（x）的2个极值点；
②a=0时，G′（x）=x（2lnx+1）=0在（0，+∞）仅1根，故a=0不合题意； ③a＜0时，需r（x）=2lnx+1﹣=0在（0，+∞）至少有2个不同的实根，
由r′（x）=+＞0，得x＞﹣，故r（x）在（﹣，+∞）递增，
故r（x）在（0，﹣）递减，∵a＜0，x→0时，r（x）→+∞， 且x＞1时，r（x）＞0，
由题意得，需r（x）min＜0，即r（﹣）=2ln（﹣）+3＜0，解得：a＞﹣2
，
故﹣2＜a＜0，
综上，a∈（﹣2，0）∪（0，1）∪（1，+∞）．
【点评】本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．
三、请考生在第（12）、（23）題中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一个题目计分.[选修4-4:坐标系与参数方程]
22．（10分）（2017•揭阳二模）在直角坐标系xOy中，已知直线l1：y=tanα•x（0≤a＜π，α
），抛物线C：
（t为参数）．以原点O为极点，x轴的非负半
轴为极轴建立极坐标系
（Ⅰ）求直线l1和抛物线C的极坐标方程；
（Ⅱ）若直线l1和抛物线C相交于点A（异于原点O），过原点作与l1垂直的直线l2，l2和抛物线C相交于点B（异于原点O），求△OAB的面积的最小值． 【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QH：参数方程化成普通方程．
【分析】（Ⅰ）直线l1是过原点且倾斜角为α 的直线，抛物线C的普通方程为y=4x，
2
由此能求出直线l1和抛物线C的极坐标方程．
2
（Ⅱ）由直线l1和抛物线C有两个交点知α≠0，把θ=α代入ρsinθ=4cosθ，得
ρA=，直线l2的极坐标方程为2
，（ρ∈R），代入ρsinθ=4cosθ，求
出ρB=﹣，由此能求出△OAB的面积的最小值．
【解答】解：（Ⅰ）∵直线l1：y=tanα•x（0≤a＜π，α∴直线l1是过原点且倾斜角为α 的直线， 其极坐标方程为θ=α（
），（2分）
），
抛物线C的普通方程为y=4x，（3分） 其极坐标方程为（ρsinθ）=4ρcosθ，
2
2
化简得ρsinθ=4cosθ．
2
（Ⅱ）由直线l1和抛物线C有两个交点知α≠0， 把θ=α代入ρsinθ=4cosθ，得ρA=
2
，（6分）
可知直线l2的极坐标方程为
2
2
，（ρ∈R），（7分）
代入ρsinθ=4cosθ，得ρBcosα=﹣4sinα， 所以ρB=﹣
，（8分）
=
∴△OAB的面积的最小值为16．（10分）
=≥16，
【点评】本题考查抛物线、直线方程、极坐标方程、直角坐标方程、参数方程、三角形面积等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题．
五、[选修4-5：不等式选讲]（共1小题，满分0分） 23．（2017•揭阳二模）己知函数f（x）=|2|x|﹣1|． （I）求不等式f（x）≤1的解集A；
（Ⅱ）当m，n∈A时，证明：|m+n|≤mn+1．
【考点】R6：不等式的证明．
【分析】（Ⅰ）去掉绝对值，即可求不等式f（x）≤1的解集A； （Ⅱ）当m，n∈A时，利用分析法即可证明：|m+n|≤mn+1． 【解答】（ I）解：f（x）≤1即|2|x|﹣1|≤1． ∴﹣1≤2|x|﹣1≤1，∴|x|≤1…（2分） 解得：﹣1≤x≤1，所以A=[﹣1，1]…（4分）
（ II）证明：要证：|m+n|≤mn+1，即证（m+n）≤（mn+1）…（6分） 因为 （m+n）﹣（mn+1）=m+n﹣mn﹣1=（m﹣1）（1﹣n）…（8分）
2
2
2
2
22
2
2
2
2
因为m，n∈A，所以m≤1，n≤1，所以（m﹣1）（1﹣n）≤0 所以（m+n）≤（mn+1） 所以，|m+n|≤mn+6…（10分）
【点评】本题考查不等式的证明，考查分析法的综合运用，属于中档题．
2
2
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