数字信号处理课后习题答案

江太辉）第三版

课后习题答案

1

数字信号处理（姚天任

第二章

2.1 判断下列序列是否是周期序列。若是，请确定它的最小周期。 （1）x(n)=Acos(（2）x(n)=e(j5n) 86n) 83（3）x(n)=Asin(n)

43解 (1)对照正弦型序列的一般公式x(n)=Acos(n)，得出是周期序列。最小周期等于N=

5216。因此是有理数，所以8516k16(k取5)。 512。因此16是无理数，所以不833n)＝Acos(n)

24343 （2）对照复指数序列的一般公式x(n)=exp[j]n,得出是周期序列。

（3）对照正弦型序列的一般公式x(n)=Acos(n)，又x(n)=Asin(＝Acos(N=

31328。因此是有理数，所以是周期序列。最小周期等于n)，得出43468k8(k取3) 3

2.2在图2.2中，x(n)和h(n)分别是线性非移变系统的输入和单位取样响应。计算并列的x(n)和h(n)的线性卷积以得到系统的输出y(n)，并画出y(n)的图形。

h(n)=u(n)x(n)21-1(a)12 3n0 12 3…n-120 1x(n)h(n)21 -10 -124n-10 12 34n 1x(n)=u(n)(b)-1h(n)=anu(n)1…-1

…n0 12 34(c)-10 12 3n

2

解 利用线性卷积公式

y(n)=

kx(k)h(nk)

按照折叠、移位、相乘、相加、的作图方法，计算y(n)的每一个取样值。 (a) y(0)=x(O)h(0)=1

y(l)=x(O)h(1)+x(1)h(O)=3

y(n)=x(O)h(n)+x(1)h(n-1)+x(2)h(n-2)=4,n≥2 (b) x(n)=2(n)-(n-1)

h(n)=-(n)+2(n-1)+ (n-2)

y(n)=-2(n)+5(n-1)= (n-3) (c) y(n)=

(k)kuanku(nk)=

knk=1an1a1au(n)

2.3 计算线性线性卷积 (1) y(n)=u(n)*u(n) (2) y(n)=nu(n)*u(n)

解：(1) y(n)=

(k)u(nk)

ku=

(k)u(nk)=(n+1),n≥0

ku0即y(n)=(n+1)u(n) (2) y(n)=ku(k)u(nk)

k

3

=k0k1n1u(k)u(nk)=,n≥0

1即

1n1y(n)=u(n)

1

2.4 图P2.4所示的是单位取样响应分别为h1(n)和h2(n)的两个线性非移变系统的级联，已知x(n)=u(n), h1(n)=(n)-(n-4), h2(n)=anu(n),|a|<1,求系统的输出y(n).

解 (n)=x(n)*h1(n) =

ku(k)[(n-k)-(n-k-4)]

 =u(n)-u(n-4)

y(n)=(n)*h2(n) =

kaaku(k)[u(n-k)-u(n-k-4)]

=

k,n≥3

kn32.5 已知一个线性非移变系统的单位取样响应为h(n)=a

nu(-n),0系统的单位阶跃响应。

2.6 试证明线性卷积满足交换率、结合率和加法分配率。

4

证明 （1）交换律 

X(n) * y(n) =

x(k)y(nk)

k 令k=n-t,所以t=n-k,又-`

 x(n) * y(n) =

x(nt)y[n(nt)]

t =

x(nt)y(t)=y(n) * x(n)

t 交换律得证. (2)结合律

[x(n) * y(n)] * z(n) 

=[

(k)y(nk)] * z(n)

kx =

[

tkx(k)y(tk)]z(n-t)

 =

kx(k) y(t-k)z(n-t)

t =x(k)

y(m)z(n-k-m)

km =x(k)[y(n-k) * z(n-k)]

k =x(n) * [y(n) * z(n)] 结合律得证. (3)加法分配律

x(n) * [y(n) + z(n)]

=

kx(k)[y(n - k) +z(n - k)]

 =

x(k)y(n-k)+

kkx(k)z(n - k)

 =x(n) * y(n) + x(n) *z(n)

加法分配律得证.

2.7 判断下列系统是否为线性系统、非线性系统、稳定系统、因果系统。并加以证明

5

(1)y(n)= 2x(n)+3 (2)y(n)= x(n)sin[

23n+6] n(3)y(n)=

x(k) (4)y(n)= kx(k)

kn0 (5)y(n)= x(n)g(n)

解 （1）设y1(n)=2x1(n)+3,y2(n)=2x2(n)+3,由于 y(n)=2[x1(n)+x2(n)]+3 ≠y1(n)+ y2(n) =2[x1(n)+x2(n)]+6

故系统不是线性系统。

由于y(n-k)=2x(n-k)+3,T[x(n-k)]=2x(n-k)+3,因而

y(n-k) = T[x(n-k)]

故该系统是非移变系统。

设|x(n)|≤M，则有 |y(n)|=|2x(n)+3|≤|2M+3|<∞ 故该系统是稳定系统。 因y(n)只取决于现在和过去的输入x(n)，不取决于未来的输入，故该系统是因果系统。（2）设 y1(n)=ax21(n)sin[3n+6] y22(n)=bx2(n)sin[3n+6] 由于 y(n)=T[ax1(n)+ bx2(n)] =[ax1(n)+bx2(n)]sin[23n+6] =ax21(n)sin[3n+6]+bx(n)sin[223n+6] =ay1(n)+by2(n) 故该系统是线性系统。 由于 y(n-k)=x(n-k)sin[23(n-k)+6] T[x(n-k)]=x(n-k)sin[23n+6] 因而有 T[x(n-k)]≠y(n-k) 帮该系统是移变系统。 设 |x(n)|≤M，则有 |y(n)|=|x(n)sin[23(n-k)+6]| =|x(n)|| sin[23(n-k)+6]|

6

≤M|sin[2(n- k)+]|≤M 63故系统是稳定系统。

因y(n)只取决于现在和过去的输入x(n),不取决于未来的输入，故该系统是因果系统。 nn（3）设 y1(n)=

1k) ，y2(n)=kx(x2(k)，由于

kny(n)=T[ax1(n)+ bx2(n)]=

12(k)]

k[ax(k) bxnn =a

12k)=ay1(n)+by2

(n)

kx(k)+ bkx(故该系统是线性系统。

ntn因 y(n-k)=

x(k)= kx(mt)

m=T[x(n-t)]

所以该系统是非移变系统。

设 x(n)=M<∞ y(n)=

knM=∞，所以该系统是不稳定系统。

因y(n)只取决于现在和过去的输入x(n)，不取决于未来的输入，故该系统是因果系统。nn（4）设 y1(n)=

12(n)=kx(k) ，ynx2(k)，由于

0kn0ny(n)=T[ax1(n)+ bx2(n)]=

1(k) bx2(k)]

k[axn0nn = a

1(k)+b21(n)+by2

(n)

kxnkx(k)=ay0n0故该系统是线性系统。

ntn因 y(n-k)=

(k)= kxnx(mt)

0mn0t≠T[x(n-t)]=

knx(mt)

n0所以该系统是移变系统。

设x(n)=M,则limy(n)= lim(n-n0)M=,所以该系统不是稳定系统。

nn显而易见，若n≥n0。则该系统是因果系统；若n7

y(n)=T[ax1(n)+bx2(n)]=(ax1(n)+bx2(n))g(n) =ax1(n)g(n)+b2(n)=ay1(n)+by2(n)

故系统是线性系统。 因y(n-k)=x(n-k),而

T[x(n-k)]=x(n-k)g(n)≠y(n-k) 所以系统是移变系统。 设|x(n)|≤M<,则有

|y(n)|=|x(n)g(n)|=M|g(n)| 所以当g(n)有限时该系统是稳定系统。

因y(n)只取决于现在和过去的输入x(n)，不取决于本来的输入，故该系统是因果系统。

2.8 讨论下列各线性非移变系统的因果性和稳定性 （1）h(n)=2nu(-n) (4) h(n)=(12)nu(n) (2) h(n)=-anu(-n-1) (5) h(n)=

1nu(n) (3) h(n)=(n+n0 (6) h(n)= 2n0), n0≥Rnu(n)

解 （1）因为在n<0时，h(n)= 2n≠0,故该系统不是因果系统。

 因为S=

|h(n)|=

n，故该系统是稳定系统。

n|2|=1|h(n)|=

| an|=

a

n，故该系统只有在|a|>1时才是稳定系统。nnn(3) 因为在n|h(n)|=

|(n+n0)|=1<，故该系统是稳定系统。

nn(4) 因为在n|h(n)|=

|(

12)n|<，故该系统是稳定系统。 nn0(5) 因为在n1nu(n)=0，故该系统是因果系统 。 因为S=

n|h(n)|=

|1nu(n)|= n1=n0n，故该系统不是稳定系统。 (6) 因为在n8

因为S=N-1<，故该系统是稳定系统。

n|h(n)|=

N1|2n|=2n0

2.9 已知y(n)-2cosy(n-1)+y(n-2)=0,且y(0)=0,y(1)=1,求证y(n)=sin(n)sin

证明 题给齐次差分方程的特征方程为

2-2cos·+1=0

由特征方程求得特征根

1=cos+jsin=ej,2=cos-jsin= ej

齐次差分方程的通解为

y(n)=cnnjn11+c22=c1e

+cjn2e

代入初始条件得 y(0)=c1+c2=0

y(1)= cjn1e

+cn2e

j=1

由上两式得到

c1=

1ejnejn=12sin，c12=- c1=-2sin 将c1和c2代入通解公式，最后得到

y(n) =cnjnjsin(n)1e

j+cjn2e

=

12sin( e+ en)=sin

2.10 已知y(n)+2y(n-1)+(n-2)=0,且y(0)=0,y(1)=3,y(2)=6,y(3)=36,求y(n) 解 首先由初始条件求出方程中得系数a和b 由

y(2)2ay(1)by(0)66a0y(3)2ay(2)by(1)3612a3b0 可求出 a=-1,b=-8

于是原方程为

y(n)-2y(n-1)-iy(n-2)=0 由特征方程2－2－8＝0求得特征根

1＝4 ，2＝-2

齐次差分方程得通解为

9

y(n)=cnn1n1+c22= c14n+c2(-2)

代入初始条件得

y(n)= c11+c22= 41+22=3

由上二式得到

c1＝

12，c12＝－2 将c1和c2代入通解公式，最后得到

y(n)=cn1n1+c22＝

12[4n-(-2) n]

2.11 用特征根法和递推法求解下列差分方程： y(n)-y(n-1)-y(n-2)=0,且y(0)=1,y(1)=1

解 由特征方程2－－1＝0求得特征根

151＝2，2＝

152 通解为y(n)=cn1511+c2n2＝c1（

2）n＋c15n2（2） 代入初始条件得

c1c21

 c(1512)c152(2)1求出

c151=25，c152=25 最后得到通解

y(n)= c51(

125)n+ c15n2(25) =15[(15n115n125)-(25)]

2.12 一系统的框图如图P2.12所示，试求该系统的单位取样响应h(n)和单位阶跃响应

10

＋ x(n) x-1解 由图可知ß

y(n)=x(n)+ y(n-1)

为求单位取样响应，令x(n)=(n),于是有

h(n)= (n)+ h(n-1)

由此得到

h(n)=

(n)1D=nu(n)

阶跃响应为 n

y(n)=h(n)*u(n)=

ky(k)u(n-k)

k0

1n1=1u(n)

2.13 设序列x(n)的傅立叶变换为X(e

jw),求下列各序列的傅立叶变换

解 （1）F[axjw1(n)+bx2(n)]=aX1(e)+bX2(e

jw)

(2)F[x(n-k)]=ejwkX(e

jw) (3)F[e

jw0nx(n)]=X[e

j(ww0)]

(4)F[x(-n)]=X(e

jw) (5)F[x*(n)]=X*(e

jw) (6)F[x*(-n)]= X*(ejw)

(7)

11

(8)jIm[x(n)]=1[X(ejw)-X*(ejw2)] (9)

12X(ej)*X(ejw) dx(ejw(10)j)dw

2.14 设一个因果的线性非移变系统由下列差分方程描述

y(n)-12y(n-1)=x(n)+ 12x(n-1) (1) 求该系统的单位取样响应h(n) (2) 用（1）得到的结果求输入为x(n)＝ejwn时系统的响应

(3) 求系统的频率响应 (4) 求系统对输入x(n)=cos(2n+4)的响应

解 （1）令X（n）=δ(n),得到

h(n)-h(n-1)/2=δ(n)+ δ(n-1)/2

由于是因果的线性非移变系统，故由上式得出 h(n)=h(n-1)/2+δ(n)+ δ(n-1)/2 ,n≥0 递推计算出

h(-1)=0

h(0)=h(-1)/2+δ(0)=1 h(1)=h(0)/2+1/2=1

h(2)=h(1)/2=1/2 h(3)=1h(2)=(122)2 h(4)= 1h(2)=(1)3 22．

12

．

．

12h(n)=δ(n)+ ()n-1u(n-1) 或 h(n)= ()n [u(n)-u(n-1)]

也可将差分方程用单位延迟算子表示成

(1-D)h(n)=(1+D)δ(n)

由此得到

h(n)=[(1+D)/(1-D)]δ(n) =[1+D+D2+ ()2 D3+…+()k-1 D3+…] δ(n) =δ(n)+ δ(n-1)+ δ(n-2)+δ(n-3)+... +()k-1δ(n-1)+… =δ(n)+ ()nu(n-1)

2）将X(n)ejwn代入y(n)x(n)*h(n)得到

y(n)ejwn*11D2(n)11D212121212121212121212

1D2ejwn11D22n112131n1DDDD222ejwn1jwne11ejw211ejw2ejwn11ejw2 1（3）由（2）得出 11ejw2 Hejw1jw1e2 13

（4）由（3）可知

1j2w1ewj22He1 111ej2w2jw1j1j222argHearctan1earctan1e22 12arctan21故：

ynHejwcosnargHejw421cosn2arctan422

2.15 某一因果线性非移变系统由下列差分方程描述

y(n)-ay(n-1)=x(n)-bx(n-1)

试确定能使系统成为全通系统的b值（b≠a），所谓全通系统是指其频率响应的模为与频率无关的常数的系统。

解：令x(n)= (n),则 h(n)=ah(n-1)=(n)-b8(n-1) 或

h(n)=ah(n-1)+ (n)- (n-1),n≥0

由于是线性的非移变系统，故对上式递推计算得出： h(-1)=0 h(0)=1

h(1)=ah(0)-b(0)=a-b h(2)=ah(1)= h(3)=ah(2)= h(n)=ah(n-1)= h(n)=

-ab -b

-b,n≥0 bu(n-1)

14

u(n)-

或系统的频率特性为 H(

)=

=

=

= 振幅的特性平方

=

=

==

11**jw22若选取a＝b或b＝a，则有|H(e)|=|b|,即幅度响应等于与频率响应无关的常数，故该

系统为全通系统。

2.16 (1)一个线性非移变系统的单位冲激响应为h(n)=au(n),其中a为实数，且0n nu(n), 为实数，且0<<1.试利用线性卷积计算系统的输出y(n),并将结果写成下列形式

y(n)=(k1a+k2nn)u(n)

jw(2)分别计算x(n)、h(n)和（1）中求得的y(n)的傅立叶变换X(e

Y(e

jw)、H(e

jw)、Y(e

jw)，并证明

)=H(e

jw)X(e

jw)

解 (1)y(n)=

kh(k)x(nk)ak

=

u(k)1u(nk)

15

k =1(a1)k=1[1(1)n1 ]k11 =-111n111+11，n≥0 y(n)=( 1n-1n)u(n)

(2)X(eiw

)=ei=-1n01ej  H(e

j)=ei=

11ej

n0 Y(e

j)=(nnjn0)e

=

1(1ej-ejn) 由于

1(1ej-1ej) =

1(1e)(1e)=X(ejjj)H(ej) 故得出 Y(ejw)=H(ejw)X(ejw)

2.17 令x(n)和X(e

jw)分别表示一个序号及其傅立叶变换，证明：

(n)x*(n)1nx2nnX(ejw)X*(ejw)dx此式是帕塞瓦尔（Parseval）定理的一种形式。

证明：证法一

16

X(ejwn)X*(e12jwnx(n)enjwn)(x*(N)ejwn)*njwnx*(n)eX(ejw)X*(ejw)dw12[mx(m)ejwn][x*(n)ejw]dwnmx(m)nx*(n)12ejw(nm)dw其中nm2,....ejw(nm)dwejw(nm)ejw(nm)0,....nmnmn1jwjwX(e)X*(e)dw2证法二：x(n)x*(n)nx(n)x*(n)

1x(n)[2n1x(n)[2n1212X(ejw)ejwndw]

jwX*(ejw)ejwndw])X*(enx(n)ejwndwX(ejw)X*(ejw)dw

2.18 当需要对带限模拟信号滤波时，经常采用数字滤波器，如图P2.18所示，图中T表示取样周期，假设T很小，足以防止混叠失真，把从x(t)到y(t)的整个系统等效成一个模拟滤波器。 （1）如果数字滤波器h（n）的截止频率等于理想低通滤波器的截止频率fc （2）对

1rad，＝10kHz，求整个系统的截止频率fac，并求出8T1＝20kHz，重复（1）的计算 T 17

（弧度/秒）折合成数字域频率为（弧度），它比数字滤波器h（n）的T截止频率（弧度）要大，故整个系统的截止频率由数字滤波器h(n)的截止频率（弧度）来决定。将

88解 理想低通滤波器的截止频率其换算成实际频率，即将fs＝

2fac1，便得到 ＝10000Hz带入f8Tsfac＝625 Hz

理想低通滤波器的截止频率

（弧度/秒）换算成实际频率使得到fc，即由＝2fc，得到 TT110000fac＝==500 Hz

2T2

2.19 求下列序列的Z变换和收敛域 （1）（n－m） （2）()u(n) （3）au(-n-1)

（4）()[u(n)u(n10)] （5）cos(0n)u(n)

n12n12n解：（1）X(z)＝δ(nm)zn=z-nm

当m>0时，x(n)是因果序列，收敛域为0<｜z｜≤∞，无零点，极点为0(m阶); 当m<0时，x(n)是逆因果序列，收敛域为0≤｜z｜≤∞，零点为0(m阶)，无极点; 当m=0, X(z)＝1，收敛域为0≤｜z｜≤∞，既无零点，也无极点

1（2）X(z)＝n-2n11-nz=1 u(n)z=211z1n0n2X(n)是右边序列，它的Z变换的收敛域是半径为Rx的圆的外部区域，这里 Rx＝limn1x(n1)＝ 2x(n)1<｜z｜≤∞。零点为0，极点218

τ（n）还是因果序列，可以有｜z｜＝∞，故收敛域为

为

1。 211<｜z｜≤∞。零点为0，极点为。（3）22X(n)还是因果序列，可以有｜z｜＝∞，故收敛域为x(z)=

nanu(u1)zn=

n1(aznn11)n

1n1az1)== 1a1z1az1 =

n1(a1z)=(azX(n)是左边序列，它的Z变换的收敛域是半径围Rx+的圆的内部区域，这里

Rxx(n)||=

+=limx((n1))nlim|anan(n1)|=|a|

x(n)还是逆因果序列，可以有|z|0，故收敛域为0|z||a|零点为0，极点为a。

(4)X(z)＝

n-91-n

u(n)-u(n-10)z 21-n1(2z)  z=121(2z)nn =n0101X(n)是有限长序列，且它的Z变换只有负幂项，故收敛域为0<｜z｜≤∞.零点为0和（10

21阶），极点为。

2（5）X(z)nncos(wn)u(n)z0ejw0nejw0nz

zn1jw01n1jw01z) ＝(ez)＋(en02n02

111()jw01jw01 ＝

21ez1ez1z1cosw0 ＝

12z1cosw0z2x(n)是右边序列，它的Z变换的收敛域是半径为Rx的圆的外部区域，这里

19

Rxcos[w0(n1)]x(n1)|＝1 ||＝lim|＝limcos(w0n)x(n)nn可以有x(n)还是因果序列，极点为ejw0|z|，故收敛域为1|z|，零点为0和cosw0，

和

ejw0。

2.20求下列序列的Z变换和收敛域和零极点分布图 (1) x(n)=a|n|,0(ajw0)nu(n)

(3) x(n)=Arcos(0)u(n),0n1u(n) n!(5) x(n)=sin(0)u(n)

（1）X(z)=

nazn=

n0nnnn1anznanzn

n0 =

n1annzazax11ax1ax1

z(1a2) =

(1az)(za)

X(n)是双边序列，可看成是由一个因果序列（收敛域az）和一个因果序列（收敛域0z1）a相加组成，故X(z)的收敛域是这两个收敛域的重叠部分，即圆环区域az1。零点为0和∞，极点a为a和

1。 a(2) X(z)ne(j)u(n)ze(j0)nz

nn 20

1 =

1ejz1

X(n)是右边序列，它的Z变换的收敛域是半径为Rx的圆的外部区域，这里

x(n1)Rxlime

xx(n)X(n)还是右边序列，可以有

（3）

z，故收敛域为ez。零点为0,极点为ej0。

X(z)nArncos(on)u(n)znn0j(on)j(on)eeArnznnjAejo1n(rez)2n0jo1n(rez)n0Aej2Aej1Aej1jo121rez21rejoz1Aej(rej(o)rej(o))z1ej21rz1(ejoejo)r2z2cosrz1cos(o)A12212rzcosrzoX(n)是右边序列，它的Z变换的收敛域是半径为R3－的圆的

外部区域，这里

Arn1cos[0(n1)]x(n1)RXlimlimnnx(n)Arncos(0)z

x(n)还是因果序列，可以有 z ，故收敛域为 rz 。

rcos(0)j0j0rere零点为0和 ，极点为 和

cos

21

X(z)1n!u(n)ZnZn（4）

nn0n!

1231Z111n2!Z3!Z...n!Z...

1ex

X(n)是右边序列，它的Z变换的收敛域是半径为

Rx的圆的外部区域，这里

Rx(n1)1Xlimnx(n)limnn10

X(n)还是因果序列，可以有 Z ，故收敛域为

0Z ，无零点，极点为0。

(5)

X(z)= sin(wn)u(n)n0zn



sin(w0n)z1n0

ej(w0n)ej(w0n)

n02jzn

ejj(ejz1)ne(ejjz1)n2n02j

jjj(w0)j(w0)11(ee)(ee)z2j1(ejw0ejw0)z1z2

22

sinsinw0z1 12cosw0z1zixn是右边序列,它的Z变换收敛域是半径为R0的圆的外部象区域,这里

sinw0n1xn11

R0limlimxxxnsinw0nsinw0.极点为 xn还是因果序列,大故收敛域为1z.零点为0和

sincosw0jsinw0和cosw0jsinw0.

2.21 用三种方法求下列Z变化的逆变换

11,|Z|< 121z1211z112（2）X(Z)=, |Z|>

3121z1z248（1）X(Z)=

1az11（3）X(Z)=1,|Z|>|a|

za

解（1）采用幂级数法。由收敛域课确定x1（n）是左边序列。又因为limX1(z)＝1为有限值，所以x1（n）

x是逆因果序列。用长除法将X1（z）展开成正幂级数，即

111z122z4z28z316z421z5... X1(z)(1)n12nzn...(1)n1n12z(2)nznnnn1最后得到

x1（n）＝-2（-2）

或

23

n，n＝-1，-2，-3……

x1（n）＝()u(n1)

12n（2）采用部分分式展开法。将X2(z)展开陈部分分式

111z11z122X2(Z)31111z1z2(1z1)(1z1) 4824A1A2111z11z124其中

11Z2A1411Z114Z1211Z2A23 11Z112Z14由收敛域可确定X2(n)式右边序列。又因limX2(z)＝1，所以X2(n)还是因果序列。用长除法分别将

x43展开成负幂级数，即 11111z1z241112131nn4＝4[1zzz...()z...] 124821z12=

1nna()z 2n011121313=-3[1zzz...()nzn...] 14811z141=3()zn

4n0由上两式得到

n11x2(n)[4()n3()n]u(n)

24

（3）采用留数定理法。围线积分的被积函数为

x3(n)zn1(1az1)zn1(1a1z)zn1 11zaza当n>0时，由给定的收敛域可知，被积函数在围线之内仅有一个极点z

1，因此 a24

1x3(n)Res[x3(z)zn1,](1a1z)zn11zaa (a21)an1,n0当n=0时，被积函数在围线之内有两个极点z1和z＝0，因此 a1x3Res[X3(z)zn1,]Res[X3(z)zn1,0]a1a1z11(1az)z 11zzaaz0(1a2)aaa1,n0当n<0时，因为x3(z)z0，n<0

最后解得

n1在围线之外无极点，且x3(z)zn1在z＝处有1－n≥2阶极点，所以有x3(n)＝

(a21)an1,n01x（n）a,n03 0,n02n1故x（u(n1)a1(n)3n）＝(a1)a

2.22 求下列Z变换的逆变换 (1)X（z）=

1，1<|z|<2

(1z1)(12z1)(2)X(z)=

z5,0.5<|z|<2 1(10.5z)(10.5z)eTz1T(3)X(z)=,|z|>e T12(1ez)(4)X(z)=

z(2zab),|a|<|z|<|b|

(za)(zb)解 （4）

采用部分分式法

A1A2

1z112z1111,A2 A1|21t11|t212z1z X4(z)

25

根据收敛域1|z|2,12和分别对应一个因果序列和逆因果序列。将它们分别展开成z的负

1z112z1幂级数和正幂级数，即

1nz 11zn62(n1)n2z2n1zn 112zn1n1最后得到

X4(4)u(n)2用留数定理法,被积函数

n1u(n1)

X5zzn1z5zn1z5z

10.5z110.5z0.510.5z根据收敛域0.5z2可知,对应的是一个双边序列.其中

0.5z对应于一个因果序列 , 即n<0时,xn0;n0时,被积函数有1个极点0.5在围线内,

故得

n1 x5nResXzz

(z5)zn1 6()n,n0

(10.5z)z0.52|z|<2对应于一个逆因果序列，即n0时，x(n)=0;n<0时，被积函数在围线外有1个极点2，且

分母多项式的阶比分子多项式的阶高2－（n＋1）＝1-n2，故得

n1x5nResX5zz,2

z5znz0.5n22n1,n0

最后得到

1n6,n0x5n 22n1,n01或 xnn6un2n1un1

2采用留数定理法，被积函数

nXzzn1cTznz1cTzlzzcclznTz

26

根据收敛域|z|cT可以知道，对应的序列是一个因果序列。即n<0时， 在xn0时，在n0时，被

T积函数在积分围线内有1个2阶极点zc ，因此

xlnRcsXlzzn1,cTcTnzn1最后得到

leTdTnczdzncTn,n0zeT

ncTn,n0 xl0,n0或xlnncTnun

（7）

由收敛域可知，对应的是一个双边序列。将X(n)进行部分分式分解，即

z(2zab)2(ab)z1 X1(z)

(za)(zb)(1az1)(1bz1) =

A1A2 111az1bz2(ab)z11 其中 A1(1az)X7(z)||1tata1bz12(ab)z1 A2(1bz)X7(z)|tb|tb1 1az11 对于

所以

11a，收敛条件|Z| 表明它对应于一个右边序列；又因=1有限值，lim111az1azt011x(n)应于一个逆因果序列。用长除法将展开成z的正幂级数，即 1111az1azaz11111azaz11az

由此得到

anzn

n0

x1(n)anu(n)

=0为有限值,所

27

11lim1 对于1bz1，收敛条件|Z|111x(n)以1bz对应于一个逆因果序列2。用长除法将1bz1展开成z的正幂级数，即

1122bzbz11bz由此得到

bznnbzbnzn

nnn1n1 最后得到

x(n)au(n)bu(u1)

nn7x2(n)nb=u(u1)

2.23 求X（Z）＝ee，0<|z|<,的逆变换 解 将e和e展开成幂级数

z2zn1e1z......zn2!n!n0n!0011nnz1zn(n)!n|n|!zz2zn1e1z......zn2!n!n0n!由以上两式得出11n1n1nX(z)=1+zz1zn!n!|n|!n=-n0n-11zz1zz1z

最后得x(n)=(n)+

2.24 试确定X(z)=z是否代表某个序列得Z变换，请说明理由

解 不能，因为，如果X（z）能代表某个序列得Z变换，则X（z）必须在收敛域内试解析函数。但是，现在x（z）＝u（x，y）＋jv（x，y）＝z＝x－jy，显然有

**1,n|n|!uv11，即X（z）不满足柯西－黎xy曼！方程，因此X（z）不是解析函数，故X（z）不能代表某个序列得Z变换。

28

2.25 如果X（z）是x(n)得Z变换，证明：

（1）zmX(z)是x(n-m)的Z变换 （2）X(a1z)是anx(n)的Z变换 （3）zdX(x)是nx(n)的Z变换 dzn解 (1)x(nm)zn=-n=-x(n)z(nm)zmn=-x(n)znzmX(z)(2)anx(n)znn=-n=-x(n)(a

1z)nX(a1z)(3)nx(n)zn=-nddzx(n)znzX(z)dzn=-dz

2.26证明

(1)

nx(n)z*n[x(n)(z*)n]*X*(z*)

n(2)(3)

nx(n)znnx(n)(z1n)X(z1)

nRe[x(n)]zn111*nn[x(n)x(n)]z[x(n)zx*(n)zn][X(z)X*(z*)](4

2n2n2n)

nIm[x(n)]zn111*nn[x(n)x(n)]z[x(n)zx*(n)zn][X(z)X*(z*)]2jn2jn2jn

2.27解X(z)1,|z|1 1z11Y(z),|z|a

1az1 29

W(z)X(z)Y(z)其中A1A1A21W1(z)W2(z) 1111(1z)(1az)1z1az11 |1z11az1a11a A2 |1za11z1a1a由于x(n)和y(n)都是因果序列，故w(n)亦是因果序列，因果序列，因而W(z)的收敛域为|z|>1。这样，W1(z)的收敛域应为|z|>1，而W2(z)的收敛域为|z|>a。这意味着W1(z)和W2(z)都对应于因果序列，因此可用长除法分别将W1(z)和W2(z)展开成z的负幂级数，即

11n12W1(z)(1zz……)z

1a1anaann122nnW2(z)(1azaz…az…)az 1a1an0由上二式得到

1(n)1anu(n)，2(n)au(n) 1a1a最后得到

1an1(n)1(n)2(n)u(n)

1a2.29(1)因为系统是因果的，所以收敛域为|a||z|；为使系统稳定，必须要求收敛域包含单位圆，即要

1求|a|1。极点为za，零点为za，收敛域|a||z|。极－零点图和收敛域示于图1.7。

1a1ej (2)H(e)

1aejj

1j21a1ej1a1ej*1ae1ae1j1aa(e1jej)|H(e)|()()()()jjjj1ae1ae1ae1ae1a2a(ejej)j21a2acosa(a12acos)2a1a2acos1a2acosj12122因此

得到|H(e)|a，即系统的幅度特性为一常数，所以该系统是一个全通系统。 2.30(1)根据极－零点图得到x(n)的Z变换

X(z)z11(z)(z2)(z3)3

因傅里叶变换收敛，所以单位圆在收敛域内，因而收敛域为

1|z|2。故x(n)是双边序列。 330

(2)因为x(n)是双边序列，所以它的Z变换的收敛域是一个圆环。根据极点分布情况，收敛域有两种可

能：

1|z|2或2|z|3。 3n1 采用留数定理法求对应的序列。被积函数为 X(z)z1(z)(z2)(z3)311 对于收敛域|z|2，被积函数有1个极点z在积分围线内，故得

33z1zn1

1(z1z)n1 x(n)RseX[z(z),]1|z)3(z2)z(3311n0.n9() ,30 被积函数有2个极点z12和z23在积分围线外，又因分母多项式的阶比分子多项式的阶高

3n2(因n<0)，故

x(n)Res[X(z)z

n1,z1]Res[X(z)zn1(z1)zn1(z1)zn1,z2]|z2|z311(z)(z3)(z)(z2)最后得到

330.92n0.53n,n01n0.9()n,0 x(n) 30.92n0.53n,n0 或x(n)0.9()u(n)(0.920.53)u(n1) 对于收敛域2|z|3，被积函数有2个极点z113nnn1和z22在积分围线内，故 3x(n)Res[X(z)z

n1,z1]Res[X(z)zn1(z1)zn1(z1)zn1,z2]|1|z2(z2)(z3)z3(z1)(z3)被积函数有310.9()n0.92n,n031个极点z3在积分围线外，又因分母多项式的阶比分子多项式的阶高3n2(因n<0)，故

eX[z(z) x(n)Rs1(z1z)n1,3]|z31(z)z(2)3n0.n53 ,01nn0.9()0.92,n0 最后得x(n) 30.53n,n0) x(n)0.9[(13nnnu2n]()0.u53n (1)11，所以收敛域为|z|。因2231

2.31因系统稳定，所以单位圆必须在收敛域内。由于系统的极点为z

limzH(z)，故该系统不是因果系统。

2.32(1)(n)(n1)x(n)，y(n)(n)(n1)

W(z)z1W(z)X(z),W(z)X(z)1z1

z)z1W(z)1z1Y(z)W(1z1X(z)

所以系统函数为

Y(z)1z1H(z)X(z)1z1 频率响应为

jjj2cosH(z)1eje2(e2e2)21ejej2(ej2ej2)2sinjcot2 2 (2)由Y(z)1z11z1X(z)可写出系统的差分方程 y(n)y(n1)x(n)x(n1)

(3)当x(n)为单位阶跃序列时，将X(z)11z11z1代入Y(z)1z1X(z)，得到Y(z)1z111z11z1

采用部分分式法：

(z)1z1YA1A2(1z1)(1z1)1z11z1Y1(z)Y2(z) 1z1其中 A11z1|z11 A1z121z1|z121 由Y1(z)1111z1，|z|得到 y11(n)1nu(n )

32

由Y2(z)21，|z|1得到 111z2nu(n )1 y2(n)因此系统的单位阶跃响应为

1n21n21n1n1y(n)y1(n)y2(n)u(n)u(n)u(n)u(n)u(n)u(n)1111112.33(1)求差分方程两边的z变换

Y(z)zY(z)zY(z)zX(z) 由上式得到系统函数

121z1 H(z)

1z1z2 求系统函数的零点和极点

z1zz H(z) 1z1z2z2z1(z1)(z2) 其中，零点为0；极点为111(15)和2(15)。由此可画出极－零点图，如图1.9所22示。已知系统为因果系统，因此收敛域为|1||z|。

(2)采用留数定理法。由H(z)z(收敛域为|1||z|)计算单位取样响应

(z1)(z2)n1 h(n)Res[H(z)zn11n2nznzn,1]Res[H(z)z,2]|z1|z2u(n)

z2z112(3)要使系统稳定，单位圆必须在收敛域内，即收敛域应为2|z|1，这是一个双边序列。 采用部分分式法将系统函数分解为 H(z)A1A2zH1(z)H2(z)

(z1)(z2)z1z2 其中 A11z|z1 z212 A22z|z2 z121 33

由H1(z)1计算单位取样响应h1(n)。因收敛域为|z|1，故h1(n)为左边序列，又

12z11因limH1(z)0为有限值，故h2(n)还是逆因果序列。采用留数定理法，被积函数

z0H1(z)zn11zn1，当n<0时，极点1(15)在积分围线外，且被积函数的分母与212z11分子多项式阶数之差为1n12(因n<0)，因此有 h1(n)Res[H1(z)zn1,1]1n11z|z11n,n0

1221 由H2(z)1计算单位取样响应h2(n)。因此收敛域为|z|2，故h2(n)为右边序列，

21z22又因limH2(z)z0221为有限值，故h2(n)还是因果序列。采用留数定理法，被积函数

H2(z)zn11zn1，当n0时积分围线内有唯一的极点，2(15)，因此有 221z22 h2(n)Res[H2(z)zn1,2]221zn1|z212n,n0

21 最后得到满足题给差分方程的一个稳定但非因果的系统，它的单位取样响应为 h(n)h1(n)h2(n)1(n1u(n1)nu2(n))

212.34(1)求差分方程两边的Z变换

5z1Y(z)Y(z)zY(z)X(z)

2由上式得到系统函数

H(z)Y(z)1z 51X(z)z1z(z2)(z)221。系统单位取样响应的3种可能选择方案如下(参2系统函数的零点：z0；极点：12，2考图1.10所示的极－零点图)。

（1） 收敛域取为2|z|，系统是因果的，但不是稳定的。得到系统的单位取样响应为

1n2n112h(n)u(n)[2n()n]u(n)(2n2n)u(n)

1122322（2） 收敛域为

1|z|2，系统是稳定的，但不是因果的。得到系统的单位取样响应为 234

h(n)121[1nu(n1)2nu(n)][2nu(n1)()nu(n)]

1232（3） 收敛域取为|z|1，系统既不是稳定的，又不是因果的。因收敛域为|z|1，故h(n)为2左边序列，又因limH(z)0为有限值，故h2(n)还是逆因果序列。采用留数定理法，被积

z函数H(z)zn11zn，当n<0时极点1和22都在积分围线外，且被2(z1)(z2)积函数的分母与分子多项式阶数之差为2-n>2(因n<0)，因此有

h(n)12(1n2n)u(n1)(2n2n)u(n1)

123 (4)验证每一种方案都满足差分方程：前面已经由差分方程求得系统函数H(z)1，故只要5z1z2验证每一种方案的系统函数即可。 （1）

2n2211nnH(z)(22)u(n)z[(2z1)n(21z1)n]()11133312z12znn（2） 21z1()5312z1z21z1z22n21nn1nH(z)[(2u(n1)2u(n))]z[(2z)(21z1)n]33nnn021n1221z11[(2z)]()53n1121z1312z112z1z1z2（3）

12n21nn1nH(z)(22)u(n1)z[(2z)(21z1)n]33nnn

2221z2z11nn[(2z)(2z)]()53n1312z112zn1z1z2

2.35zY(z)10Y(z)zY(z)X(z) 3Y(z)1z H(z)101X(z)z1z(z3)(z)3311极点为3，。系统稳定，单位圆在收敛域内，即|z|3，对应于双边序列。

331 35

A1A2H1(z)H2(z)

11(z3)(z)z3z33z1z9|1 其中A1|z3，A21z3z388z3H(z)z由收敛域|z|3知h1(n)为左边序列，由limH1(z)0为有限值知h2(n)是逆因果序列。采用留

z0数定理法，被积函数H1(z)zn19zn1，当n<0时极点3在积分围线外，且被积函数的分母与分子8z3多项式阶数之差为1n12(因n<0)，因此有

9n13z|z33n,n0 8811由收敛域|z|知h2(n)为右边序列，因limH2(z)为有限值，故h2(n)是因果序列。采用

z38h1(n)Res[H1(z)zn1,3]留数定理法，被积函数H2(z)zn11zn11，当n0时积分围线内有唯一的极点，因此 8z13311n131nh2(n)Res[H2(z)zn1,]z|1(),n0

z38833最后得到

h(n)h1(n)h2(n)[3u(n1)13u(n)] 2.36(1)根据差分方程可画出系统的框图，如图1.11所示。

(2)求差分方程两边的Z变换

38nnszY(z)rzY(z) Y(z)2rco 由上式得到系统函数

122 X(z)Y(z)1z2 H(z) 122X(z)12rcoszrz(z1)(z2) 其中，极点：

j(cosjsin，)2rejr(cosjsin) 1rer)Z变换为X(z) x(n)au(n的

n1，因此可以得到 11azz2z3 Y(z) (z1)(z2)(1az1)(z1)(z2)(za) 因为是因果系统，故收敛域为|z|max[1,2,a]，且有y(n)0，n0。对于n0，采用留数定理法求Y(z)逆Z变换，被积函数

36

Y(z)zn1zn2在积分转线内有3个极点：z11，z22，z3a。因此有 (z1)(z2)(za)3y(n)Res[Y(z)zn1,zi]i1zn2zn2zn2(za)|z1(zza)|z2(z|za2)(z1)(1)(z2)n2 1(n22an2

21)(1a)(21)(2a)(a1)(a2)(n22a)1(1a)n222(12)an(12)(1a)(2a)(reja)(rej)n2(reja)(rej)n2j2rsinan2j2rsin(reja)(reja),n037

第三章 离散傅里叶变换及其快速算法习题答案参考

3.1 图P3.1所示的序列x(n)是周期为4的周期性序列。请确定其傅里叶级数的系数X(k)。

nknkX(k)x(n)Wx(n)WNN解：

n0n0N1N1(N1)n0x(n)WNnkX(k)X*(k)

*3.2 （1）设x(n)为实周期序列，证明x(n)的傅里叶级数X(k)是共轭对称的，即X(k)X(k)。

（2）证明当x(n)为实偶函数时，X(k)也是实偶函数。 证明：（1）

nkX(k)x(n)WNn0N1X(k)[x(n)W*n0N1nk*N]x(n)Wn0N1nkN

X(k)（2）因x(n)为实函数，故由（1）知有

** X(k)X(k)或X(k)X(k)

又因x(n)为偶函数，即x(n)x(n)，所以有

X(k)x(n)WNnkx(n)WNnkn0n0N1N1(N1)n0x(n)WNnkX(k)X*(k)

3.3 图P3.3所示的是一个实数周期信号x(n)。利用DFS的特性及3.2题的结果，不直接计算其傅里叶级

数的系数X(k)，确定以下式子是否正确。 （1）X(k)X(k10)，对于所有的k；

38

（2）X(k)X(k)，对于所有的k； （3）X(0)0； （4）X(k)ejk25，对所有的k是实函数。

解：（1）正确。因为x(n)一个周期为N＝10的周期序列，故X(k)也是一个周期为N＝10的周期序列。 （2）不正确。因为x(n)一个实数周期序列，由例3.2中的（1）知，X(k)是共轭对称的，即应有

X(k)X*(k)，这里X(k)不一定是实数序列。

（3）正确。因为x(n)在一个周期内正取样值的个数与负取样值的个数相等，所以有

X(0)x(n)0

n0N1（4）不正确。根据周期序列的移位性质，X(k)ejk25＝X(k)W10对应与周期序列x(n2)，如

jk252k图P3.3_1所示，它不是实偶序列。由题3.2中的（2）知道，X(k)e不是实偶序列。

3.4 设x(n)R3(n)，x(n)N1n0rx(n6r)，求X(k)，并作图表示x(n)和X(k)。

52解： X(k)x(n)WnkNx(n)W6nkW6nkn0n01W63k1ejk1(1)kkjkjk1W61e31e3

39

X(0)1X(2)X(4)02X(1)1j3 1(1j3)/22X(3)1j1eX(5)21j31(1j3)x(n)和X(k)的图形如图3.4_1所示：

3.5 在图P3.5中表示了两个周期序列x1(n)和x2(n)，两者的周期都为6，计算这两个序列的周期卷积

x3(n)，并图表示。

40

解：图P3.5_1所示的是计算这两个序列的周期卷积x3(n)的过程，可以看出，x3(n)是x1(n)延时1的结果，即x3(n)x1(n1)。

41

3.5 计算下列序列的N点DFT：

(1)x(n)(n)

(2)x(n)[(nn0)]N*RN(n),0n0N (3)x(n)an,0nN1 (4)x(n)cos(2Nnm),0nN1,omN N1解：（1）X(k)(n)WnkN(0)1,0kN1

n0N1 （2）X(k)[(nn)]n0NRN(n)WnkNW0kN,0kN1

n0

42

N1 （3）

X(k)anWnk1aNWNkN1Nn01aWkaNk,0kN1 N1aWN （4）

N1N1X(k)cos(2nk1j2Nnmj2Nnmj2Nnkn0Nnm)WN2eeen0j2(k121em)1ej2(km)21ejN(km)1ej2N(km)j(km)j(km)N1j(km)j(kN112eejN(km)eem)jN(km)ejN(km)ejN(km)eejN(km)ejN(km)e1sinkmjN1N1N(km)sinkmj(km)2eeNsinkm/Nsinkm/NN2,km或km0,其他3.7 图P3.7表示的是一个有限长序列x(n),画出x1(n)和x2(n)的图形。 （1）x1(n)xn24R4(n)

（2）x2(n)x2n4R4(n)

解：x1(n)和x2(n)的图形如图P3.7_1所示：

43

3.8 图P3.8表示一个4点序列x(n)。

（1）绘出x(n)与x(n)的线性卷积结果的图形。

（2）绘出x(n)与x(n)的4点循环卷积结果的图形。

（3）绘出x(n)与x(n)的8点循环卷积结果的图形，并将结果与（1）比较，说明线性卷积与循环卷

积之间的关系。

解：（1）图P3.8_1（1）所示的是x(n)与x(n)的线性卷积结果的图形。 （2）图P3.8_1（2）所示的x(n)与x(n)的4点循环卷积结果的图形。 （3）图P3.8_1（3）所示的x(n)与x(n)的8点循环卷积结果的图形。

可以看出，x(n)与x(n)的8点循环卷积结果的图形与（1）中x(n)与x(n)的线性卷积结果

的图形相同。

44

3.9 x(n)是一个长度为N的序列，试证明x[(n)]Nx[(Nn)]N。

证明：因为x[(n)]N是由x(n)周期性重复得到的周期序列，故可表示为x[(n)]Nx[(nrN)]N 取r＝1，上式即为x[(n)]Nx[(Nn)]N。

3.10 已知序列x(n)au(n),0a1。现在对其Z变换在单位圆上进行N等分取样，取值为

nX(k)X(z)|zWk，求有限长序列的IDFT。

N 解：在z平面的单位圆上的N个等角点上，对z变换进行取样，将导致相应时间序列的周期延拓，

延拓周期为N，即所求有限长序列的IDFT为 xp(n)rx(nrN)arnrNanu(nrN),n0,1,...,N1 N1a3.11 若长为N的有限长序列x(n)是矩阵序列x(n)RN(n)。 （1）求[x(n)]，并画出及其-零点分布图。

（2）求频谱X(e)，并画出幅度|X(e)|的函数曲线。 （3）求x(n)的DFT的闭式表示，并与X(e)对照。 解：（1）

45

jjjX(z)nRNN(n)znzn0N1N1n1zN1z1kNN1k1z1N1k0N1z(z1)z(z1) 极点：z00(N1阶)；零点：zpke 图P3.11_1(1)是极-零点分布图。

j2kN(zW)(zW)zN1kNN1k1(zezN1j2kN)

,k1,2,...,N1

jN1ee(eejX(e)X(z)| （2）111zejjjj1eje2(e2e2)jN2jN2jN2NsinN1)2j2esin2

Nsin2,()N1j |X(e)|

2sin2 图P3.11_1(2)所示的是频谱幅度|X(e)|的函数曲线。

j（3）

X(k)RN(n)Wn0N1nkN1WNNk1ej2kjN,k0X(e)20,k1,2,...,N1 2kkjk1WNN1eN2(k0,1,2,...,N1)上的取样值。 N 可见，X(k)等于X(e)在N个等隔频率点j

3.12 在图P3.12中画出了有限长序列x(n)，试画出序列x[(n)]4的略图。

46

解：

3.13 有限长序列的离散傅里叶变换相当与其Z变换在单位圆上的取样。例如10点序列x(n)的离散傅里

叶变换相当与X(z)在单位圆10个等分点上的取样，如图P3.13（a）所示。为求出图P3.13（b）所示圆周上X(z)的等间隔取样，即X(z)在z0.5ej[(2k/10)(/10)]各点上的取样，试指出如何修改

x(n)，才能得到序列x1(n)，使其傅里叶变换相当于上述Z变换的取样。

解：

X1(k)x1(n)en09j2nk10X(z)z0.5expj2kx(n)(0.5)ne1010n09j10nje2nk10

由上式得到x1(n)(0.5)enj10nx(n)

3.14 如果一台通用计算机计算一次复数乘法需要100s，计算一次复数加法需要20s，现在用它来计算N＝1024点的DFT，问直接计算DFT和用FFT计算DFT各需要多少时间？ 解：直接计算DFT：

1048576100s105s 复数乘法：N10241048576次， 复数加法：N(N1)102410231047552次,104755220s21s

22 47

总计需要时间：(10521)s126s 用FFT计算DFT： 复数乘法：

Nlog2N5120次,5120100s0.512s 2复数加法：Nlog2N10240次,1024020s0.2048s 总计需要时间：(0.5120.2048)s0.7168s

3.15 仿照本教材中的图3.15，画出通过计算两个8点DFT的办法来完成一个16点DFT计算的流程图。 解：图P3.15_1所示的是用两个8点DFT来计算一个16点DFT的流程图。

3.16 设x(n){0,1,0,1,1,1}，现对x(n)进行频谱分析。画出FFT的流程图，FFT算法任选。并计算出每级蝶形运算的结果。

解：图P3.16_1所示的为时间轴选8点FFT的流程图和每级蝶形运算的结果。

3.17 根据本教材中图3.27所示的流程图，研究基2频率抽选FFT算法。设N为2的任意整数幂，但不等

48

于8。为了给数据全部加上标号，假设数组中的数据被存在依次排列的复数寄存器中，这些寄存器的编号从0到N－1，而数组的编号为0到log2N。具有最初数据的数组是第0列，蝶形的第一级输出是第1列，依次类推。下列问题均与第m列的计算有关，这里1≤m≤log2N，答案应通过m和N表示。

（1）要计算多少个蝶形?每个蝶形有多少次复数乘法和复数加法运算？整个流程图需要多少次复数

加法和复数乘法运算？ （2）由第（m－1）列到m列，包含的WN的幂是什么？

（3）蝶形的两个复数输入点的地址之间的间隔是多少？ （4）利用同样系数的各蝶形的数据地址间隔是什么？注意这种算法的蝶形计算的系数相乘是置于蝶

形的输出端的。 解：（1）log2N级，每级

NN个蝶形，共log2N个蝶形。每个蝶形有1次复数乘法和2次复数22N加法运算，故整个流程图需要Nlog2N次复数加法和log2N次复数乘法运算；

2m1 （2）由第m-1列到m列，包含的WN的幂是2k,k0,1,...,2mN1；

m （3）蝶形的两个复数输入点的地址之间的间隔是2 （4）利用同样系数的各蝶形的数据地址间隔是2N；

m1N,2mlog2N。

3.18 使用FFT对一模拟信号作谱分析，已知：①频率分辨率F≤5Hz；②信号最高频率f01.25kHz。试

确定下列参数： （1）最小记录长度tp；

（2）取样点的最大时间间隔T； （3）一个记录长度中的最少点数。 解：（1）f115Hz,tps0.2s，最小记录长度tp0.2s； tp5 （2）fs11取样点的最大时间间隔为T 2f021.25kHz2.5kHz，s0.4ms；

T2.5103tpT0.2500。

2.5103（3）一个记录长度中的最少点数为N3.19 已知信号x(n)和FIR数字滤波器的单位取样响应分别为

n15x(n)1,00,其他h(n)an,0n10

0,其他 49

（1）使用基2 FFT算法计算x(n)与h(n)的线性卷积，写出计算步骤。 （2）用C语言编写程序，并上机计算。 解：（1）计算步骤：

①在序列尾部补零将h(n)延长成为16点的序列；

②用基－2 FFT算法分别计算x(n)和h(n)的16点DFT，得到X(k)和H(k)； ③计算序列的乘积Y(k)X(k)H(k)；

④用基－2 FFT算法计算Y(k)的16点IDFT，便得到x(n)和h(n)的线性卷积y(n)。 （2）

3.20 已知两个实序列x1(n)和x2(n)的离散傅里叶变换分别为X1(k)和X2(k)。设复序列g(n)为

g(n)x1(n)jx2(n)其离散傅里叶变换为G(k)。令GOR(k),GER(k),GOI(k),GEI(k)分别表示

G(k)的实部的奇数部分，实数的偶数部分，虚数的奇数部分和虚数的偶数部分。试用GOR(k),GER(k),GOI(k),GEI(k)来表示X1(k)和X2(k)。

解：因GOR(k) 故GR(k)11G(k)G(k)G(k)GR(k)GR(k) R，ERR22GOR(k)GER(k)

类似有GI(k)GOI(k)GEI(k)

因此可以用GOR(k),GER(k),GOI(k),GEI(k)表示G(k)

G(k)GR(k)jGI(k)GOR(k)GER(k)jGOI(k)GEI(k)①

另一方面，由于g(n)x1(n)jx2(n)，故有G(k)X1(k)jX2(k) ②

但因x1(n)和x2(n)都是实序列，故X1(k)和X2(k)的实部都是偶对称序列，虚部都是奇对称序

列，因此应将①式整理成下列形式

G(k)GER(k)jGOI(k)jGEI(k)jGOR(k) ③

X1(k)GER(k)jGOI(k)

对照式②和式③，便可得到 和

X2(k)GEI(k)jGOR(k)

3.21 线性调频Z变换算法的一个用途是使频谱的谐振峰变尖。一般说来，如果在z平面内靠近极点的一

条圆周线上计算序列的Z变换，则可以观察到谐振。在应用线性调频Z变换算法或计算离散傅里叶变换时，被分析的序列必须是有限长的，否则必须先将序列截断。截断序列的变换只能有零点（除

50

z=0或z=∞外），而原始序列的变换却有极点。本题的目的是要证明，在有限长序列的变换中仍可以看到谐振型响应。

（1）令x(n)u(n)，画出它的Z变换X(z)的极－零点略图。

ˆ(n) （2）令xnN1ˆ(z)的极－1,0ˆ(n)等于从N点以后截断的x(n)。画出xˆ(n)的Z变换X即x0,其他零点略图。

ˆ(ej)随变化的略图。并在你的图中画出N增加时对Xˆ(ej)的影响。 （3）画出Xn解：（1）X(z)zn01z

1z1z1N1j2kNN1j2kN极－零点略图如图3.21_1（1）所示；

ˆ(z)（2）Xnzn0N1(ze)(ze1zNzN1k0k11z1zN1(z1)zN1(z1)zN1)

零点：zkej2kN,k1,2,...,N1；极点：z=0（N-1阶）。极－零点略图

如图3.21_1（2）所示；

je1sin(N/2)jˆX(e)j(N1)je(e1)sin(/2) （3）

ˆ(ej)随变化的略图，当N增加时，Xˆ(ej)的谐振峰变 如图3.21_1（3）所示为X尖，同时增高。

51

第四章 数字滤波器的原理和设计方法课后习题答案

4.1 一个离散时间系统由下列差分方程表示： y(n)34y(n1)18y(n2)x(n)13x(n1) 画出实现该系统的方框图。

(1) 画出该系统的信号流程图。

解 图4.1（a）和（b）所示的分别是该系统的方框图和流程图。

x(n) + y(n)

3/4 z1

1/8 z1

（a）

x(n) y(n)

z1 3/4

z1 -1/8

(b)

4.2 试求出图P4.2所示的两个网络的系统函数，并证明它们具有相同的极点。

x(n) y(n)

z1 2rcos r2 z1 网络Ⅰ

52

x(n)

rcos z1

rsin rsin y(n)

rcos z1 网络Ⅱ

解 网络Ⅰ：根据信号流程图写出差分方程

y(n)2rcosy(n1)r2y(n2)x(n) 由差分方程得系统函数

H1(z)Y(z)1X(z)12rcosz1r2z1 1(rz1ej)(rz1ej) 由上式求出极点：

z1rej 和 z2rej

网络Ⅱ： 由图所示的原网络写出以下方程

W(z)X(z)(rsin)z1Y(z)(rcos)z1W(z) ① Y(z)(rsin)z1W(z)(rcos)z1Y(z) ②

由式①得

X(z)(rsin)z1 W(z)Y(z)1(rcos)z1 ③

将③代入式②，得

Y(z)(rsin)z1X(z)(r2sin2)z2Y(z)1(rcos)z1(rcos)z1Y(z)由上式得系统函数

H(z)Y(z)X(z)(rsin)z112(rcos)z1r2z2 53

(rsin)z1(rz1ej)(rz1ej) 极点 zj zj1re 和2re

可见网络Ⅰ和网络Ⅱ具有相同极点。

4.3 一个因果线性离散系统由下列差分方程描述： y(n)-

3114y(n-1)+8y(n-2)=x(n)+3x(n-1) 试画出下列形式的信号流程图，对于级联和并联形式只用一阶节。

(1) 直接Ⅰ型； (2) 直接Ⅱ型； (3) 级联型； (4) 并联型。 解 （1）直接Ⅰ型

x(n) y(n)

z1 z1 1/3 3/4 z1

-1/8

（2）直接Ⅱ型

x(n) y(n)

z1

3/4 1/3 z1

-1/8

（3）级联型

x(n)

y(n)54

z1 z1

1/4 1/3 1/2

将系统函数写成

11z1 H(z)3111 1114z12z

（4）并联型

x(n) -7/3 y(n) z1

1/4

10/3

z1

1/2

将系统函数写成部分分式形式 H(z)7/310/311 114z112z

4.4 用直接Ⅰ型和直接Ⅱ型结构实现以下系统函数；

52z10.5z2(1) H(z)=13z13z2z3

(2) H(x)=0.83z32z22z5z34z23z2

解 (1)根据系统函数写出差分方程

y(n)3y(n1)3y(n2)y(n3)5x(n)2x(n1)0.5x(n2)

直接Ⅰ型结构可根据系统函数或差分方程得到，如图所示

55

x(n) - 5 y(n)

z1 z1 2 -3

z1 z1 -0.5 -3

z1 -1

将直接Ⅰ型结构中两个级联系统的位置互换，并省去前向网络的两个单位延迟器，便得到下图所示的直接Ⅱ型结构。

x(n) -5 y(n)

z1

-3 2

z1 -3 -0.5

z -1

（2）由系统函数写出差分方程 或

12y(n)3y(n1)4y(n2)y(n3)4x(n)1.6x(n1)1.6x(n2)2.4x(n3)

y(n)1.5y(n1)2y(n2)0.5y(n3)2x(n)0.8x(n1)0.8x(n2)1.2x(n3)

根据系统函数或差分方程得到下图所示的直接型结构的信号流程图。

x(n) 2 y(n)

56

z1 z1 0.8 -1.5

z1 z1 0.8 -2

z1 z1 1.2 -0.5

交换直接型结构中两个级联系统的次序，并让3个延时器共用，便得到下图所示的直接Ⅱ型结构的信号流程图。

x(n) 2 y(n)

z1 -1.5 0.8

z1 -2 0.8

z1

-0.5 1.2

4.5 用级联型和并联型结构实现以下系统函数，每个二阶节都采用直接Ⅱ型结构。

5(1z1)(11.4412z1z2) H(z)= 112(10.5z)(11.2728z0.81z) /

解 （1）级联结构

根据H(z)的表示式可直接画出级联型结构的信号流程图，如下图所示。

x(n) 5 y(n)

z z

57

11

0.5 -1 1.2728 -1.4412

z1

-0.81 1

（2）并联型结构 将H(z)用部分分式表示为

3.9783.5664.858z1 H(z)12.346 11210.5z11.2728z0.81z按上式可画出并联型结构的信号流程图，如下图所示。

12.346

x(n) y(n)

-3.978 z

0.5

-1 -3.566 z

1.2728 -4.858 z

-0.81

4.6 试证明当FIR滤波器的冲激响应具有奇对称性质，即h(n)=-h(N-1-n)时，其相位具有分段线性的性质，即

()(

58

111N1) 22具有

(1) 当N为奇数时，滤波器的幅度响应为

(N1)/2H()c(n)sin(n)

n1 其中，c(n)2h(N1(N1)2n),n=1,2,…,

2。 (2) 当N为偶数时，滤波器的幅度响应为 )N/2 H(d(n)sin[(n1)] n12

其中，d(n)2h(NN2n),n=1,2,…,2。 对于以上两种情况，幅度响应和相位响应曲线如图P4.6所示。

h(n) n

h(n) N-1 0 N-1 0 n

H() H()

  0  2 0  2

/2

0  2 

(N32) 图P4.6 解 （1）因滤波器的冲激响应具有反对称性质，即 h(n)h(N1n)

故当N为奇数时，有

h(N12)h(N12)0 59

N3H(ej)ejN122j2h(n)sin((N1因此

n02n))N3

ejN12j222h(n)sin((N1n02n))上式中n用

N12n置换，得 N1 H(ej)ej(N1)2222h(N12n)sin(n) n1由于滤波器的频率响应为 H(ej)H()ej()

所以 H(ej)H()ej()

令 c(n)2h(N1N2N), n=1,2,…,12得滤波器的幅度响应(N H()1)/2c(n)sin(n)

n1NN1 （2）H(ej)21h(n)ejnh(n)ejn

n0nN2N21h(n)ejnN1n0h(N1n)ejn

nN2NN21h(n)ejnn021h(n)ej(N1n)

n0N21h(n)(ejnej(N1n))

n0N1ej2(N1)2h(n)(ej(N1n)ej(N12n)) n02N1ej2(N1)2j2h(n)sin[(N1n02n)] N1ej((N1))2222h(n)sin[(N1n02n)] 用

N2n置换n，得

60

N H(ej)ej((N1)2)222h(N12n)sin[(nn12)]

滤波器的频率响应表示为

H(ej)H()ej()

所以

()N122 NH()2 d(n)sin[(n1)] n12其中

d(n)2h(N2n), n=1,2,…,N2

4.7 已知一模拟滤波器的传递函数为 Ha(s)3s22s23s1 试分别用冲激响应不变法和双线性变换法将它转换成数字滤波器的系统函数H(z)，设T0.5。解 （1）冲激响应不变法 将Ha(s)展开成部分分式

H3s23s2a(s)2s23s1(2s1)(s1)

A12s1A2s1

A3s21其中

s1s112 A3s222s1s11

因此 Hs(s)12s11s1

对式①求逆拉氏变换，得

hta(t)(0.5e0.5et)u(t)

上式中令t=nT，得

h(n)hnTa(nT)(0.5e0.5enT)u(n)

61

对上式求h(n)的Z变换，得 H(z)nh(n)zn(0.5e0.5nTenT)z1

N0将T=0.5代入上式得

0.51 0.5T1Tz1ez1ez0.51 1e0.5Tz11e0.5z1H(z)（2）双线性变换法

21z11z14将s代入题给的Ha(s)公式，得

T1z11z11z112211zH(z) 11z21z132()1211z11z1(1410z1)(1z1) 12111232(1z)12(1z)(1z)(1z)144z110z2 124562z21z

4.8 设ha(t)表示一模拟滤波器的冲激响应

ha(t){

e0.9t,0,t0t0

用冲激响应不变法将此模拟滤波器转换成数字滤波器。把T当作参数，证明T为任何正值时，数字滤波器是稳定的，并说明此滤波器近似为低通滤波器还是高通滤波器。 解 在题给的冲激响应表示中，令t=nT,得

h(n)ha(nT){0,e0.9nT,n0n0

求h(n)的Z变换，得数字滤波器的系统函数

H(z)nh(n)zne0.9nTznn011e0.9Tz1

0.9T由于系统函数的极点为ze0.9T，无论T为任何正值恒有ze1，即极点不可能在单位圆内。这

就是说，不满足线性移不变系统稳定的充分和必要条件。所以该数字滤波器不是稳定的。

62

令zej。由系统函数得滤波器的频率特性

H(ej)11e0.9Tej

因此，滤波器的幅度响应为

H(ej)11e0.9Tej

因在（0-）区间，随着的增加，H(ej)将下降，故该滤波器为低通滤波器。

4.9 已知一模拟系统的转移函数为 Ha(s)sa(sa)2b2 试根据这个系统求满足下列两条件的离散系统的系统函数H（z）。 （1） 冲激不变条件，也就是

h(n)ha(nT)

（2） 阶跃不变条件，也就是

s(n)sa(nT)

其中 s(n)sa(nT) sa(t)tha(d)

解 （1） 将Ha(s)展开成部分分式

Ha(s)sa(sa)2b2A1s(ajb)A2s(ajb)

Asa1其中

s(ajb)s(ajb)0.5

Asa2s(ajb)s(ajb)0.5所以 H0.5a(s)s(ajb)0.5s(ajb)

求逆拉氏变换，得

h(ajb)ta(t)0.5[ee(ajb)t]u(t)

上式中令t=nT，得

63

h)ta(t)0.5[e(ajbe(ajb)t]u(t) 对上式求Z变换，得系统函数  H(z)h(n)zn

n00.5[11aTjbT1aTjbT1] 1eez1eez1eaT(cosbT)z1

12eaT(cosbT)z1e2aTz2(2) 模拟滤波器的阶跃响应sa(t)与冲激响应ha(t)有以下关系

sta(t)ha()d

阶跃响应sa(t)的拉氏变换Sa(t)与冲激响应ha(t)的拉氏变换即传输函数Ha(s)之间有以下关系S1a(s)sHa(s)

因此 Sa(s)1sass(sa)2b2

将Sa(s)展开成部分分式

Sa(s)1sass(sa)2b2

A0sA1s(ajb)A2s(ajb) 其中

Asa0(sa)2b2s0aa2b2Asa1a1s[s(ajb)]s(ajb)2(ajb)jb2(a2b2)

Asa1ajb2s[s(ajb)]s(ajb)2(ajb)2(a2b2)所以

Sa(s)(aa2b2)1s(ajb1ajb12(a2b2))s(ajb)(2(a2b2))s(ajb) 求拉氏变换，得

s(ajb)tajb(a(t)(aajba2b2)(2(a2b2))e(ajb)t2(a2b2))e 上式中令t=nT，得阶跃响应sa(t)的取样值序列

s(n)sa(nT)

s(n)sa(nT){(aajb(ajb)a2b2)(2(a2b2))enT (ajb(2(a2b2))eajb)nT}u(n)对上式求Z变换，得阶跃响应sa(t)的取样值序列s(n)的Z变换S（z）,

S(z)s(n)zn

n 65

aajv(ajb)nT)()e2222ab2(ab)n0ajb(ajb)nTn()e}z222(ab)11(ajb)(ajb)a1122[2aTjbT12aTjbT1]212ab1zab1eez1eeza112ab21z1a2b21[(ajb)(1eaTejbTz1)(ajb)(1eaTejbTz1)][2]aTjbTjbT12aT21e(ee)zeza112ab21z1a2b21[2aaeaT(ejbTejbT)z1jbeaT(ejbTejbT)z1][21eaT(ejbTejbT)z1e2aTz2{(a11a[acos(bT)bsin(bT)]eaTz1 22{}212aT12aT2ab1zab12cos(bT)ezez由于阶跃响应sa(t)的取样值序列s(n)的Z变换S(z)与冲激响应h(n)的Z变换即系统函数H（z）之间有以下关系

S(z)11H(z)(1z)S(z) 或 H(z)11z所以最后得系统函数

a1z12 H(z)2 22ababa[acos(bT)bsin(bT)]eaTz1} {aT12aT212cos(bT)ezez

4.10 一延迟为的理想限带微分器的频率响应为

jrje, Ha(j)0,c其他

（1） （2）

j用冲激不变法，由此模拟滤波器求数字滤波器的频率响应Hd(e)，假定

T。

若hd(n)是=0时由（1）确定的滤波器冲激响应，对某些值，hd(n)可用hd(n)的延迟表示，

66

即

hd(n)hd(nn)

其中

n为整数。确定这些值应满足的条件及延迟

n的值。

''解 (1)设理想限带模拟微分器的冲激响应是ha(t)，用冲激响应不变法由它得到hd(n)。设hd(n)的傅里叶变换用H(ej)表示，则有

H(ej)h'd(n)ejn12nTkHjja(k) TT因为已知

Ha(j)0, c/T 所以

H(ej)1THa(j)1(j)ejT,c kTTTT 设数字微分器的单位取样响应是hd(n)，则有

h)Th'd(na(nT)Thd(n)

因此，数字微分器的频率响应为  Hjd(e)h'jd(n)e

nh(n)ejdTnjTejT,Tc 0其他(2) 因为0时数字微分器的频率响应为

Hjd(ej)T,Tc

0,其他所以由hd(n)hd(nn)知道

Hjjnd(e)

nh(n)ejnddnn)enh(ejHjejnn,Tcd(ej)T

0,其他将式②与式①对照，得

67

nT

因为n为整数，所以应取T的整数陪是值。

4.11 图P4.11表示一数字滤波器的频率响应。 （1） 假设它是用冲激响应不变法由一个模拟滤波器的频率响应映射得到的。试用作图的方法求该模

拟滤波器的频率响应特性。

（2） 假设它是用双线性变换得到的，重做（1）。

H(e)

1

1/4 

2/3/3 0 /3 2/3 

图P4.11

解

4.12 用冲激不变法设计一个数字巴特沃斯低通滤波器。这个滤波器的幅度响应在通带截止频率

jp0.2613处的衰减不大于0.75dB，在阻带截止频率T0.4018处的衰减不小于20dB。

解 (1)求滤波器的阶数N

10.10.75100.1p111012lg[0.1]lg[0.120]210T1101 N0.2613lg()lg(P)0.4018T0.18852lg[]1.3602997.2777

lg0.65030.1863取N=8

68

1（3）

求滤波器的3dB截止频率c

0.1p[10p1]12NcT[100.1T1]12N

其中

10.75p[100.1p1]2N0.2613[100.11]1280.9111

11 0.1T[10T1]2N0.4018[100.1201]280.9472

因此 0.9111c0.9472

选取c0.9111，准确满足通带指标要求，超过阻带指标要求。 （3）求Ha(s)的极点

sk(kcej2NN2)0.9111ej(9168k), k= 0，1，…，15

其中，左半s平面的极点为

sj900.9111e160.1778j0.36sj(910.9111e168)0.5062j0.7575sj(920.9111e164)0.7575j0.5062

sj(930.9111e1638)0.63j0.177s*j(31634s0.9111e8)0.36j0.1778s*j(95s20.9111e164)0.7575j0.5062s*j(96s10.9111e168)0.5062j0.7575

s*7s00.9111ej9160.1778j0.63（4）求传输函数Ha(s)

NHC'0.91118a(s)N1

*2(ssk)k)(ss*k)3(ssk)(ssk0k00.47483

[s2(sks*k)ssks*k]k00.4748(s20.3556s0.83)(s21.0124s0.83)(s21.515s0.83)(s21.7872s0.83)

69

0.4748

s84.67s710.905s616.536s517.7s413.715s37.515s22.671s0.475（5）用查表法求传输函数Ha(s)

根据表得到8阶归一化巴特沃斯滤波器的传输函数Ha(s)

'Ha'(s)'1 876543s5.1258s13.1371s21.8462s25.6884s21.8462s5.1258s1ss取代，得Ha(s) c0.9111将Ha(s)中s用

Ha(s)0.4748 8765432s4.67s10.905s16.536s17.7s13.715s7.515s2.671s0.475与（4）结果相同。

4.13 使用双线性变换法设计一个巴特沃斯低通滤波器。假定取样频率fs1.5kHz处衰减不小于12dB。 解 将fp.和fT转换成数字频率p和T p2fp210002000 T2fT215003000 T11104 3fa1010

pTp10420000.2TTT1030000.34（2）求滤波器的阶数N和巴特沃斯模拟低通滤波器的3dB截止频率c 取T=1，将数字频率p和T预畸变，得预畸变后的p和T

p20.2tan2tan2tan(0.1)0.9841pT22 20.3tanT2tan2tan(0.15)1.0190537TT22因此，模拟低通滤波器的指标为

20lgHa(jp)20lgHa(j0.9841)1.8 ① 20lgHa(jT)20lgHa(j1.0190537)12由巴特沃斯滤波器的幅度平方函数得

20lgHa(j)10lg1(

2N) ② c70

将式②代入式①，得

20lgHa(jp)10lg1(0.98412N)1.8 ③ c1.01905372N20lgHa(jT)10lg1()12 ④

c联立求解式③和式④，得

100.11.811lg[0.112]210.73055153.7342 N100.9841lg()0.195391.0190537取N=4。将N=4分别代入式③和式④，得

0.11.8124c0.9841(101)c10.7063c20.7274c1.0190537(100.1121)取c124

1(c1c2)0.7168。 2 也可以直接引用公式来求N和c，但应注意，对双线性变换法来说，公式中的p和T都是预畸变后的值。

（3）求Ha(s)的极点

skcej(2Nk)N20.7168ej(5k)84， k=0,1,…,7

其中，左半s平面的极点为

s00.7168es10.7168e5j80.2743j0.66230.6623j0.2743

5()84s2s1*0.6623j0.2743s3s0*0.2743j0.6623（4）求传输函数Ha(s)

Ha(s)cNN2k00.71684(ssk)(ssk*)(ss)(ss)kkk01

71

0.2[sk012(sksk*)ssksk*]0.2 22(s0.5486s0.5139)(s1.3246s0.5139)0.24s1.8732s31.7545s20.9626s0.2（5）用查表法求传输函数Ha(s)

根据表得到4阶归一巴特沃斯滤波器的传输函数Ha(s)

'Ha'(s)将Ha(s)中的s用

'1 432s2.6131s3.4142s2.6131s1ss取代，得 c0.7168c4 Ha(s)432234s2.6131cs3.4142cs2.6131csc0.223s42.61310.7168s33.41420.7168s2.62310.7168s30.71684

0.24s1.8731s31.7542s20.9624s0.2与（4）的结果近似相等。

4.14 用双线性变换法设计一个数字切比雪夫低通滤波器，各指示与题4.13相同。 解

4.15 通过频率变换法设计一个数字切比雪夫高通滤波器，从模拟到数字的转换采用双线性变换法，假设取样频率为2.4kHz，在频率160Hz处衰减不大于3dB，在40Hz处衰减不小于48dB。 解 （1）将高通数字滤波器的频率指标fp和fT折合成数字频率

pTpTTT2fpfs216022400152fT240fs240030

设T=2，按照双线性变换法，将高通数字滤波器的数字域频率转换为高通模拟滤波器的频率

p212ptantan()0.2126T2215

21T'tanTtan()0.0524T2230' 72

将高模拟滤波器的频率指标映射成模拟低同滤波器的频率指标

p1'14.7040p0.2126

11T'0.052419.0840T（2）根据模拟低同滤波器的指标求,c,和N

2100.10.13p11010.9953

或0.9977

cp4.7040

kp4.704019.08400.2465

T[100.10.131dp111010.1]2[0.148]23.971710310

T1101arch1arch1Nd3.9717103 arch11karch0.2465arch251.7814arch4.05682.9941

取N=3。

（3）求模拟低通滤波器的平方幅度函数 令x4.70400.2126，将其代入3阶切比雪夫多项式的平方中cV223(x)[x(4x3)]216x624x49x2

16(0.2126)624(0.2126)49(0.2126)20.0014860.04940.40682

因此，3阶切比雪夫模拟低通滤波器的平方幅度函数为

H1a(j)21e2V2(/

3c) 110.9953(0.0014860.04940.40682)

10.0014760.048840.404821

（4）求模拟低通滤波器的传输函数

73

将js代入Ha(j)，得

2Ha(s)Ha(s)Ha(j)2js

1 20.00147s0.0488s0.4048s1由上式求出Ha(s)Ha(s)的极点：

s00.701j4.2517s11.4047s2s0*0.701j4.2517s30.701j4.2514s41.4047s5s3*0.701j4.2517其中s0，s1和s2是左半s平面的3个极点，由他们构成一个稳定的3阶切比雪夫模拟低通滤波器，其传输函数为 Ha(s)

B

(ss1)(ss0)(ss2)B(ss1)(ss0)(ss0*)B(ss1)[s2(s0s0*)ss0s0*]B(s1.4047)[s21.402s18.5684]

因N=3为奇数，所以Ha(0)1，因此

BHa(0)1.404718.568426.083

最后得

Ha(s)26.083 2(s1.4047)[s1.402s18.5684]26.083 32s2.8067s20.5385s26.083注意，模拟低通滤波器的传输函数在左半s平面的3个极点也可以用下式求出：

skacsin(2NNk)bccos(2NNk)，k=0,1,…,2N-1

其中常量a和b用下列公式计算

a121

74

0.997710.9977212.4182

a1111N1)2(aaN)0.5(2.418232.41823

0.5(1.34220.7451)0.2986

b111(aNaN2)0.5(1.34220.7451)1.0437

ac0.29864.70401.4046ac1.04374.70404.9096

将ac和bc的值代入计算极点的公式，得左半s平面的极点如下：

s01.4046sin(23)j4.9096cos(23)

0.7023j4.2518

s11.4046sin(233)j4.9096cos(233)1.4046 s*2s00.7023j4.2518

这里的结果与前面的数值基本相同。

（5）将模拟低通滤波器转换成模拟高通滤波器

用1/s代换模拟低通滤波器的传输函数中的s，得到模拟高通滤波器的传输函数

23.083s2 Ha(s)12.8067s20.5385s226.083s3 （6）用双线性变换法将模拟高通滤波器映射成数字高通滤波器

设T=2。将s1z11z1代入模拟高通滤波器的传输函数，得

26.083(1z13H(z)1z1)1z11z11 12.806721z31z120.5385(1z1)26.083(1z1)0.5172(13z13z2z3)11.0293z11.1482z20.1458z3

4.16 设h1(n)是一个偶对称序列，N=8，见图P4.16（a）。h2(n)是h1(n)的四点循环移位，即h2(n)h1((n4))sR6(n)

75

（1） 求出h1(n)的DFT与h2(n)的DFT之间的关系，即确定模H1(k)与H2(k)及相位1(k)与2(k)之

间的关系。

（2） 由h1(n)和h2(n)可以构成两个FIR数字滤波器，试问它们都属于线性相位数字滤波器吗？为什

么？时延为多少？

（3） 如果h1(n)对应一个截止频率为

的低通滤波器，如图P4.16（b）所示，那么认为h2(n)也对应一2个截止频率为

2的低通滤波器合理吗？为什么？ h1(n)

n

0 1 2 3 4 5 6 7 /2 0 /2 

图P4.16

解 (1)因为h1(n)h1(N1n)和h2(n)h2(N1n)，所以当N=8时，有

N1Hj2721(k)hnk31(n)N8nkn0h1(n)en0h1(n)ej8nk

n437hj2j21(n)e8nk8nkn0h1(7n)en43hj21(n)[ej28nke8(7n)k]

n032h1(n)[ej8nkej28(n1)k]n0322H2(k)h2(n)[ej8nkej8(n1)k]

n0由于h1(n)h2(3n)， n=0，1，2，3 所以

32H1(k)h2(3n)[ej28nkej8(n1)k]

n0 76

h2(n)[en03j2(3n)k8ej2(4n)k8]2nk8ej24k38h(n)[e2n0j2(n1)k8ej]

ejkH2(k)（2）因为h1(n)和h2(n)都是具有对称性质，所以它们都是线性相位数字滤波器。时延为

n(N1)/23.5

（3）由（1）的结果知道，h1(n)和h2(n)的幅度响应相等，所以可认为h2(n)也对应于一个截止频率为/2的低通滤波器。

4.17 用矩形窗设计一个线性相位高通滤波器，其中

j(),e Hd(e)0,jc

0cc（1） 求出h(n)的表达式，确定与N个关系。 （2） 改用汉宁窗设计，求出h(n)的表达式。 解

4.18 用哈明窗设计一个线性相位FIR滤波器，其中

je,jHd(e)0,0.25其他

设N=21，求h(n)的表达式及其数值。

解 将理想低通模拟滤波器的截止频率换算成数字域频率

cTc2fcT2fc21250.25 fs1000j,eHd(e)0,j因此，理想低通线性相位数字滤波器的频率特性为

0.250.25

响应的单位取样响应为

hd(n)12Hd(ej)ejnd120.250.25ejnejnd

sin[0.25(n)]sin[0.25(n10)]

(n)(n10)根据时延要求，哈明窗的宽度应为N=2+1=21,所以要设计的FIR线性相位低通数字滤波器的单位取

样响应为

77

h(n)sin[0.25(n10)](n10)(n)

其中，(n)是哈明窗函数，定义为

(n)0.540.46cos(10n), 0n20 由于设计的FIR低通数字滤波器具有线性相位，所以h(n)关于N1210是偶对称的。因 2020H(z)h(n)zn(n10)](n)znn0sin[0.25n0(n10)

20annz

n0故 a(n10)]nsin[0.25(n10)[0.540.46cos(10n)], 0n20

利用上式可计算出设计的FIR滤波器的系数如下：

a0a200.002548a1a190.00256375a2a180a3a170.00866936a4a160.02110671a5a150.02430854 a6a140a7a130.06079995a8a120.14517283a9a110.22001165a100.25

78

第五章

5.1 证明随机变量的均值的线性性质即式(5.16)和式(5.17)。 证明

E(

xnym)=

(xy)pxn,ym(x,n,y,m)dxdy=

xpxn,ym(x,n,y,m)dxdy+

ypxn,ym(x,n,y,m)dxdy

其中

p(x,n,y,m)|x,yy nmxyp(x,n,y,m)dx=ypxn,ym(x,n,y,m)|x xn,ymxxpxn,ym(x,n,y,m)dy=x由于

pxn,ym(x,n,,m)[xnx,ym]的概率＝[xnx]的概率＝Pxn(x,n) pxn,ym(,n,y,m)[xn,ymy]的概率＝[ymy]的概率＝Pym(y,m) pxn,ym(x,n,,m)[xnx,ym]的概率＝0 pxn,ym(,n,y,m)[xn,ymy]的概率＝0

所以

xpxn,ym(x,n,y,m)dyxpxn(x,n)xxpxn(x,n) ypym(y,m)

ypxn,ym(x,n,y,m)dxypym(y,m)y最后得 E[xnym]=

xpxn(x,n)dx+ypym(y,m)dy=E[xn]+E[ym]

另一方面，有 E[axn]=

5.2 已知x(n)和y(n)是不相关的两个随机信号，它们的方差分别是x和y，求w(n)=x(n)+y(n)的方差。 根据随机信号的均值的线性性质，得到

mxE[(n)]E[x(n)y(n)]E[x(n)]E[y(n)]mxmy

2axpxn(x,n)dx=axpxn(x,n)dx=aE[xn]

故随机变量的均值具有线性性质。

22 79

2E[((n)m)2]E{[x(n)y(n)mxmy]2}E{[x(n)y(n)]22[x(n)y(n)](mxmy)(mxmy)2}E{[x(n)y(n)]}2(mxmy)E[x(n)y(n)](mxmy)22由于x(n)和

E[x2(n)]E[y2(n)]2E[x(n)y(n)]2(mxmy){E[x(n)]E[y(n)]}(mxmy)2y(n)是不相关的两个随机信号，所以在上列最后一个式子中 E[x(n)y(n)]E[x(n)]E[y(n)]mxmy 因此

2E[x2(n)]E[y2(n)]2mxmy2(mxmy)2(mxmy)222E[x2(n)]E[y2(n)]mxmy22 E[x2(n)mx]E[y2(n)my]

E[(x(n)mx)2]E[(y(n)my)2]22xy

5.3 设有3个白噪声序列x1(n)、x2(n)和x3(n)，它们分别在区间(-q,0)、(-q/2,q/2)和(0,2)上呈均匀分布。

(1) 画出它们的概率密度函数图形。 (2) 计算它们各自的均值。 (3) 计算它们各自的方差。

解(1)x1(n)、x2(n)和x3(n)的概率密度函数分别为

1,qx0 px1(x)q

0,其它q1,|x|<2 px2(x)q0,其它1,0x2 px3(x)20,其它其图形如图所示。

80

px1(x)

1px2(x) 1q q q 0

x q qx 20

2

px3(x) 12 0 2

x

(2) x1(n)、x2(n)和x3(n)的均值

mx1E[x1]

xpx1(x)dx1q0120q qxdx2qx|q2mx2E[x2]xpx2(x)dx1q/212q/2 qq/2xdx2qx|q/20mx3E[x3]xpx3(x)dx

1xdx12204x2|20(3) x1(n)、x2(n)和x3(n)的方差

2E[(x22x11mx1)]x(mx1p)x1xdx()

10q21q30q2

qq(x2)dx3q(x2)|q122E[(xmx22x2)2](xmx)22px(2x)dx

1q/2213q/

qq/2xdx3qx|2q2q/21281

E[(x3mx)]32x32x(mx23p)x3xdx()

12201232(x)dx(x)|06325.4 已知随机信号x(n)=cos(0n+)其中，角频率0是常数，初相是在区间(0,2)均匀分布的随机变量。求x(n)的均值和自相关序列，并判别x(n)是否广义平稳随机过程。

x(n)的均值为

mxn=E[x(n)]

==

x(n)p()d

1220cos(0m)cos(0m)d=0

Rxx(m,n)=E[x(m)x(n)]

= =

x(n)p()d

12cos(0m)cos(0m)d 02121={cos[0(nm)]cos[0(nm)2]}d 2021=cos[0(nm)] 21=cos[0|nm|] 2 因为mxn和Rxx(m,n)都与时间起点n无关，Rxx(m,n)只与时间差|n-m|有关，所以x(n)是广义平

稳随机过程。

5.5 证明一个任意随机信号与一个与其不相关的白噪声序列相乘后，变成为一个白噪声序列。 设任意随机信号为x(n)，白噪声序列为e(n),它们的乘积y(n)=x(n)e(n)。 白噪声序列e(n)的自相关序列为

*2 Ree(n,nm)E[e(n)e(nm)e(m)]

其中，e是白噪声序列e(n)的方差，(m)是单位取样序列。 y(n)的自相关序列为

Ryy(n,nm)E[y(n)y(nm)]E[x(n)e(n)x(nm)e(nm)] 因为e(n)和x(n)不相关，所以上式可写成

Ryy(n,nm)E[x(n)x(nm)]E[e(n)e(nm)]Rxx(m)Ree(m)eRxx(m)(m)因此y(n)是

白噪声序列。

5.6 遍历性过程一定是平稳的，平稳随机过程一定是遍历性的，这两个论断正确吗？为什么？

82

**2***25.7 有一随机变量x，它的均值为mx、方差为x。已知x的N个测量值xi(i=0,…,N-1)是互不相关的，

21ˆx=这些测量值的算术平均值mNˆx的期望值。 (1) 求mˆx的方差。 (2) 求mxi0N1i称为取样均值。

1ˆ=5.8 同上题。把N2x(xi0N1iˆx)2叫做取样方差。 m2ˆx]。 (1) 计算取样方差的期望值E[ 期望值

1ˆ]E[E[N2xˆ(x(n)mn0N1x)2]1N1N

{E[xn0N12N122ˆxˆx]}(n)]E[m]2E[x(n)m1E[x(n)]N2n012E[x(n)]N2n0N12N12E[x(i)x(j)]N2i0j0N1N1E[x(i)x(j)]i0j0N1N11N1NE[x(i)x(j)]i0j0ijjiN1N1

N1N11N12E[x(n)]2{E[x(i)]E[x(i)x(j)]}Ni0n0i0j01N2N2E[x(n)]E[x(i)]E[x(i)x(j)]NN22N1N1E[x2(i)](E[x()i])2 NNN12x =N =

(2) 若x是高斯随机变量，即x的概率密度函数为px(x)=

122x(xmx)222xe

ˆx的方差求取样方差2ˆx]=E[(ˆx-E[ˆx])]。 Var[5.9 x(n)是零均值随机过程的取样序列，d(n)=x(n+1)-x(n)称为差分序列。设该随机过程的功率谱是低通的即

Sxx(e

j222||c非零，)=此外还假设已知随机过程自相关序列的前两个值Rxx(0)和Rxx(1)。

0,||c2(1) 求差分序列的均方值E[d(n)].

83

差分序列的均方值

E[d2(n)]E[(x(n1)x(n))2]

E[x2(n1)]2E[x(n1)x(n)]E[x2(n)]Rxx(0)2Rxx(1)Rxx(0)

2[Rxx(0)Rxx(1)](2) 证明E[d2(n)]2cE[x2(n)]. 因为差分序列的均值为

mdE[d(n)]E[x(n1)x(n)]E[x(n1)]E[x(n)]mxmx0 所以差分序列的方差为

222d2dE[d(n)]mdE[(n)]2[Rxx(0)Rxx(1)]

x(n)的功率谱为

Sjxx(e)mRxx(m)ejnRxx(0)Rxx(m)ejnm1Rxx(m)ejnm1n Rxx(0)Rxx(m)ejm1ejn

m1Rxx(0)mRxx(m)[ejnejn]1Rxx(0)2Rxx(m)cos(m)m1上式可视为偶函数Sxx(ej)的傅里叶级数展开式，级数的前两个系数分别为

R1xx(0)2S(ejxx)d和R1xx(1)2Sxx(ej)cosd

由于当jc||时，Sxx(e)0，所以

R11xx(1)2cSxx(ej)cos2cosccSxx(ej)d

c 上式中

12coscej)dcos2c(12(ccSxx(cRcc(0)(12sin)Rxx(0))2)Rc22xx(0)因此得 R2cxx(1)(12)Rxx(0)

即

Rxx(0)R2cxx(1)2Rxx(0)

84

或

222 E[d(n)]cE[x(n)]

5.10设x(n)是均值为零，方差为x的平稳白噪声随机信号，它作用于冲激响应为h(n)的线性非移变系统

2的输入端，得到输出随机信号y(n)。

(1) 求x(n)与y(n)的互相关序列在滞后时间m=0时的取样值Rxy(0)。 解：线性非移变系统的输出y(n)输入x(n)有如下关系  y(n)k)

kh(k)x(n 因此

Rxy(0)E[x(n)y(n)]E[x(n)h(k)x(nk)]

k

h(k)E[x(n)x(nk)]kh(k)Rxx(k)k 其中，R2xx(k)是均值为零、方差为x的平稳白噪声随机信号x(n)的自相关序列，有 Rk)E[x(n)x(nk)]2xx(x(k)

所以 Rxy(0)xh(0)

kh(k)2(k)2x

(2) 求输出信号y(n)的方差2y。

解：因为x(n)的均值为零，所以y(n)的均值也为零，因此

2E[y2y(n)]E[(h(k)x(ik))(kkh(k)x(jk))] h2(k)E[x2(nk)]kijh2(k)E[x(ik)x(jk)]

ijji2(0)h2(k)Rxx(ij)kh(k)Rxxiijjji 由于x(n)是一个均值为零、方差为2x的平稳白噪声随机信号，所以

R2xx(0)x

Rxx(ij)0,ij

85

因此 

2y2xkh2(k)

5.11设有一平稳随机信号x(n)由于下列差分方程表示：x(n)=-apkx(nk)u(n)式中，ak(k=1,…,p)是p

k1个常数，u(n)是均值为零、方差为2的白噪声。求x(n)的自相关序列Rxx(m)的表示式。 解：x(n)的自相关序列为

Rxx(m)E[x(n)x(nm)]pE[x(n)(akx(nmk)u(nm))]k1

pakE[x(n)x(nmk)]E[x(n)u(nm)]

k1pakRxx(mk)E[x(n)u(nm)]k1 （1）

式（1）右端第二项

E[x(n)u(nm)]E{[h(l)u(nl)]u(nm)}

l0

h(l)E[u(n1)u(nm)]h(l)2(ml)2h(m)l0l0 （2）

由于h(n)是因果系统即满足条件h(-m)=0(m>0),所以式（2）成为

2 E[x(n)u(n+m)]=h(0),m00,m0 (3)

由题给差分方程可求出系统函数 H(z)1p

1akkzk1 根据初值定理，有

h(0)limH(z)1 （4）

zlimz1p1 akzkk1 将式（4）代入式（3），得

E[x(n)u(n+m)]=2,m00,m0 (5)

将式（5）代入式（1），最后得

86

2,m0 Rxx(m)akRxx(mk)k10,m0p

这就是x(n)的自相关序列Rxx(m)应满足的方程式。

2sin(n)22,n05.12有一线性非移变系统，其单位冲激响应为h(n)=,若在该系统输入端作用一个离散

n0,n0随机信号x(n)，则在系统输出端得到y(n)。

(1) 求输出信号y(n)的自相关序列。

(2) 求输入信号x(n)与输出信号y(n)的互相关序列。 (3) 证明(2)所算得的互相关序列是奇序列。

(4) 若用x(n)和y(n)构成一个复序列(n), (n)=x(n)+jy(n)请计算(n)的自相关序列。(5) 求用(n)的功率谱。

解：(1)首先求h(n)的傅里叶变换 H(ej)＝

nh(n)ejn

21 ＝sin2(n/2)sin2(n/2)jn[ejn＋ennn1n]

 ＝211cos(n)1cos(n)j[ejnenn2n＋ ]

n12n ＝11cos(n)1cos([ejn＋n1nn)ejn]

n1nejn ＝1 [1cos(n)]ejn

n1n ＝j

2nsin(n)[(1)1]n1n  ＝j2[(1)n1sin(n)sin(n)]

n1nn1n 其中

(1)n1sin(n)n1n2,|| 87

 sin(n)＝2,02

n1n2,20 因此，当0时

H(ej)j2(22)j 即

H(ej)j,0j,0

由此得到 |H(ej)|1

由于y(n)的功率谱Sjyy(e)与功率谱Sjxx(e)有以下关系：

Syy(ej)＝H(ej)H(ej)Sxx(ej)＝|H(ej)|2Sxx(ej) ＝Sjxx(e)

且功率谱与自相关序列之间有傅里叶变换关系，即  Syy(ej)＝

Ryy(m)ejn

m Sjxx(e)＝

Rxx(m)ejn

m所以，最后得到

Ryy(m)＝Rxx(m) (2)x(n)与y(n)的互相关序列  Rxy(m)＝E[x(n)y(n+m)]＝E[x(n)

)x(nmk)]

kh(k ＝

k)E[x(n)x(nmk)]

kh( ＝

)Rxx(mk)

kh(k(3)因x(n)是实序列，有 Rxx(m)＝Rxx(m)

88

h(n)是奇序列，即

h(n)＝－h(－n) 所以

Rxx(m)＝

kh(k)Rxx(mk)＝

kh(k)Rxx(mk)

＝

kh(k)Rxx(mk)＝kh(k)Rxx(mk)

＝－Ryy(m) 即(2)所算得的互相关序列是奇序列。 (4)(n)的自相关序列为

* R(m)＝E[(n)(nm)]＝E[(x(n)+jy(n))(x(n+m)-jy(n+m))]

＝E[x(n)x(n+m)]+E[y(n)y(n+m)]+jE[y(n)x(n+m)-jx(n)y(n+m)] ＝Rxx(m)＋Ryy(m)＋j[Ryx(m)]－j[Rxy(m)]

将(1)和(3)的结果，即Ryy(m)＝Rxx(m)和Rxy(m)＝－Rxx(m)＝Ryx(m)代入上式，得

R(m)＝2Rxx(m)－j2Rxy(m)＝2Rxx(m)－j

kh(k)Rxx(mk)

(5)因mx＝0，所以my＝0，于是(n)的功率谱为 S(ej)＝

mRxx(m)ejn

利用(4)的结果，有 S(ej)＝2

mRxx(m)ejn－j2

mRxy(m)ejn＝2Sxx(ej)－j2Sxy(ej)

利用(2)的结果，有 Sxy(ej)＝H(ej)Sxx(ej)

jjj 故 S(e)＝2S(e)[1－jH(e)]

0,0 ＝ j4Sxx(e),05.13有一线性非移变系统，它有两个输入端1、2和一个输出端，从输入端1至输出端的单位取样响应为

h1(n)，从输入端2至输出端的单位取样响应h2(n)。当两输入端分别作用有互不相关的两随机序列x1(n)和x2(n)时，试证明：它们产生的各自对应的输出y1(n)和y2(n)也是不相关的。

解：因为是线性非移变系统，所以有

y1(n)＝

kh(k)x(nk)

11y2(n)＝h2(l)x2(nl)

l因此，y1(n)与y2(n)的互相关序列为

E[y1(n)y2(m)]＝E{(

kh(k)x(nk))(h(l)x112l12122(ml))}

＝

klh(k)h(l)E[x(nk)x(ml)]

由于x1(n)和x2(n)互不相关，因此上式中有 E[x1(nk)x2(ml)]＝E[x1(nk)]E[x2(ml)] 所以

E[y2(m)y1(n)] ＝

klh(k)h(l)E[x(nk)][x1211122(ml)]

＝E[

kh(k)x(nk)]E[h(l)xl2(ml)]

＝E[y1(n)]E[y2(m)] 所以y1(n)和y2(n)不相关。

5.14有一线性移不变系统，其单位取样响应为h(n)，它由单位取样响应分别为h1(n)和h2(n)

的两个子系统级联而成。设系统输入端作用有一个白噪声序列x(n)，第1个子系统的输出是y(n)，第

2个子系统的输出(也是整个级联系统的输出)是w(n)。设x(n)的均值为零，方差为x。 (1) 以下3个关系式是否都正确，为什么？

(a)

(b) 

222y2xhn021(n)

2yhn022(n)

90

(c) 22xhn02(n)

解：因为x(n)的均值为零，所以y(n)的均值也为零，因此

22＝E[y(n)] y ＝E[(

h(i)x(ni))(h(j)x(nj))]

1111i0j0 ＝

hi021(i)E[x(ni)]＋h1(i)h1(j)E[x(ni)][x(nl)]

2i0j0ijji ＝

hi021(i)Rxx＋h1(i)h1(j)Rxx(ij) （1）

i0j0ijji2由于x(n)是一个均值为零、方差为x的白噪声随机信号，所以 Rxx(0)＝x Rxx(ij)＝0，ij 将上二式代入式（1），得

所以式（a）是正确的。

根据式（1）的结果，可以得出第2个级联子系统h2(n)的输出n的方差，即 ＝

22＝2y2xhi021(k)

hk0222(k)Ryy(0)＋h2(k)Ryy(ij) （2）

i0j0ijji虽然x(n)是一个白噪声随机信号，但是，第1个级联子系统h1(n)的输出，即第2个级联子系统h2(n)的输入y(n)＝

h(k)x(nk)，在一般情况下不是白噪声随机信号，因此，在式（2）中

1k0的Ryy(0)和Ryy(ij)具有以下性质

Ryy(0)x Ryy(ij)0,ij 所以题中给出的式（b）不正确。

91

2 题中给出的式（c），表示整个系统h(n)的输入x(n)和输出(n)的方差之间的关系。由于x(n)是白噪声随机信号，h(n)是线性移不变因果系统，所以式（c）是正确的。

(2)设h1(n)=anu(n)，h2(n)=bnu(n)，这里，|a|<1，|b|<1。分别用上面列出的(b)式和(c)式计算，并

比较两个计算结果是否相等？哪个结果是正确的？为什么？ 解：题中给出的级联系统的单位取样响应为 h(n)＝

2h(nk)h(k)＝a12k0k02nnnkbkan1bn1u(n) b＝a(k)＝

abak0knn 用题中给出的式（c）计算，得 ＝2x22xhn02(n)＝

2x(ab)2(an0n1bn1)

＝

(ab)22x(an02n22(ab)b2n2)

a22abb2 ＝[] 2221ab(ab)1a1b ＝

用题中给出的式（b）计算，得 ＝222x(1ab)(1a)(1b)(1ab)22 （3）

2yhn022(n)＝2xhn021(n)hn022(n)＝2xab

2nn0n0



2n

＝

2x(1a)(1b)22 （4）

2 将分别用题中给出的式（c）和式（b）计算得到的结果式（3）和式（4）比较，可以看出它们是不同的。基于前面说明的理由，用式（c）计算得到的结果即式（3）是正确的。

5.15设x

a(t)是均值为零的连续时间随机信号，它的自相关函数和功率谱分别定义为

*(a)(a)R(xx)()E[xa(t)xa(t+)]和Sxx(j)(a)Rxx()ejd其中，上标(a)表示针对连续时间(或模拟)

信号；滞后时间是连续变量；是模拟信号角频率。

现以周期T对xa(t)等间隔取样，得到离散时间信号x(n)＝xa(nT),n取整数。x(n)的自相关序列和

92

功率谱分别定义为Rxx(m)=E[x(n)x(n+m)]和Sxx(e

(a)(1) 求Rxx(m)与Rxx()之间的关系。

*j)=

Rxx(m)ejm

解：按照定义，自相关序列R(m)为

* R(m)＝E[x(n)x*(n+m)]＝E[xa(nT) xa(nT+mT)]＝Rxx(mT)

a 因此R(m)就是以周期T对Rxx()的等间隔取样。

(2) 求Sxx(e

j(a))与Sxx(j)之间的关系。

aa解：根据（1）的结果和Sxx(j)的定义，有

a R(m)＝Rxx(mT)＝

12aSxx(j)ejmTd （1）

另一方面，根据Sxx(e R(m)＝

j)的定义，有

12aSxx(ej)ejmnd （2）

将式（1）表示成无限个积分之和，其中每个积分都在长为2/T的区间上进行，即R(m)＝

12k(2k1)/T(2k1)/TaSxx(j)ejmTd （3）

变量置换：2k，式（3）化为 T/T/TaSxx(jj1 R(m)＝

2k2k)ejmTej2mkd （4） Tj2nk交换求和与积分的次序，考虑到对于所有整数k和m有e1，因此式（4）化为R(m)1＝2/T/Ta[Sxx(jjk2k)]ejmTd （5） T将

T代入式（5），得

1 R(m)＝

21a2jn[S(jjk)]ed （6） xxTkTT将式（6）与式（2）对照，得

93

1a2k) （7） Sxx(e)＝Sxx(jjTTTj1a2k) （8） 或 Sxx(j)＝Sxx(jjTT(3) 为了不失真地由Sxx(e

j(a)(a))得到Sxx(j),Sxx(j)应满足什么条件？

ja)是Sxx(j)的周期延拓，周期为

解：从式（7）或式（8）可看出，Sxx(e2。因此，若满足条件TaaSxx(j)＝0，||>/T则Sxx(j)经过周期延拓后不会发生混叠失真，因而能够不失真地由aSxx(ej)得到Sxx(j)，即有

j Sxx(e)＝

1aSxx(j)，|| TT

5.16已知连续时间随机信号xa(t)的功率谱如图P5.16所示，以周期T对xa(t)等间隔取样得到离散时间随

机信号x(n)=xa(nT)。

(a)sXX(ej) 1 0

0

0 

(1) 求x(n)的自相关序列Rxx(m)。

1aRxx(m)R(mT)Sxx(j)ejmTd2解：

10jmT1edsin(0mT)20mTaxx(2) 为了使x(n)是白色随机序列，应如何选择T？ 解：若T0k，k是正整数，则上式化为

Rxx(n)0sin(mk)0(m)

mk 这是白色随机序列的自相关序列的形式。因此，只要取样周期T是/0的整数倍，那么x(n)就是

94

白色随机序列。

5.17假设连续时间随机信号xa(t)的功率谱如图P5.17所示，重做5.16题。

s(a)jXX(e) 1 0 0

0 

解：x(n)的自相关序列为

pRxx(m)E[x(n)x(nm)]E[x(n)(kax(nmk)u(nk1p akE[x(n)x(nm)k]E[x(n)u(nm)]（1）k1pakRx(xmk)E[x(nm)]k1 式（1）右端第二项

E[x(n)u(nm)]E{[h(l)u(nl)]u(nm)}l0 h(l)E[u(n1)u(nm)]h(l)2(ml) （2）

l0l02h(m) 由于h(n)是因果系统，即满足条件h(-m)=0(m>0),所以式（2）成为

E[x(nu)n(m)]2h(0)m,0,m0 （3）

0 由题给差分方程可求出系统函数 H(z)1p

1akkzk1 根据初值定理，有

h(0)lim1zH(z)limzp1 （4）

1akzkk1 将式（4）代入式（3），得

95

m)]2,m0 E[x(n)u(nm)] （5）

0,m0 将式（5）代入式（1），最后得

2,m0 Rxx(m)akRxx(mk)

k10,m0p 这就是x(n)的自相关序列Rxx(m)应满足的方程式。

5.18将题5.16和题5.17推广到一般情况。设连续时间随机信号xa(t)的功率谱为Sxx(t)，对 xa(t) 以等时

间间隔T0取样后得到离散时间随机序列x(n)。为使x(n)是白色随机序列，讨论Sxx(t)和T0应满足什么条件？

5.19设均值为零、方差为的白噪声序列u(n)作用于一个传输函数为HMA(z)=

统，得到输出信号x(n)。

(1) 写出系统的差分方程。 解：求系统的差分方程 根据系统函数HMA(z)= bn{b0,b1,,bq}

2(a)(a)bk0qkzk的线性移不变系

bk0qkzk可看出单位取样响应h(n)是有限长序列

因此 x(n)＝

h(k)u(nk)＝bu(nk) （1）

kqk0(2) 用系统的冲激响应h(n)表示x(n)的自相关序列Rxx(m)。 解：用h(n)表示x(n)的自相关序列 Rxx(m)＝E[x(n)x(n＋m)] ＝E[

kh(k)u(nk)h(r)u(nmr)]

r ＝

kh(k)h(r)E[u(nk)u(nmr)]

r ＝

kh(k)h(r)Rruu(mrk)

令r－k＝l，上式变成

96

Rxx(m)＝

kh(k)h(lk)Rluu(ml)＝Ruu(ml)l2kh(k)h(lk)

 其中Ruu(ml)＝E[u(n)u(n+m-l)]＝(ml) 因此Rxx(m)＝

(3) 利用系统的频率响应HMA(e

jl2(ml)kh(k)h(lk)＝h(k)h(mk) （2）

2k)表示x(n)的功率谱Sxx(e

j)。

j解：用HMA(e)表示x(n)的功率谱

由于h(k)的自相关序列

kh(k)h(mk)实际上是h(k)与h(-k)的线性卷积，因此h(k)h(mk)kjj的傅里叶变换等于乘积。这样，对式（2）求傅里叶变换HMA(e)与h(-k)的傅里叶变换HMA(e)的乘积。边样，对式（2）求傅里叶变换，便得到

j2jj2j2 Sxx(e)HMA(e)HMA(e)|HMA(e)| （3）

(4) 证明自相关序列满足差分方程Rxx(m)=

2qmbkbmk,m0,1,…,qk00,mq1

解：由HMA(z)bzkk0qk可以求得

h(k)bk[u(k)u(kq1)] 这里u(k)表示单位阶跃序列。因此

qm…,qbkbkm,m0,1, h(k) （4） hm(k)k0k0,mq1 将式（4）代入式（2），得

2qmbkbkm,m0,1,…,q Rxx(m)k0

0,mq15.20设均值为零、方差为的白噪声序列x(n)作用于一个传输函数为HAR(z)=

211akzkk1p的线性移不

变系统，得到输出随机信号x(n)。

97

(1) 写出系统的差分方程。

解：设系统的输入和输出信号的Z变换分别为U(z)和X(z),于是 X(z)U(z)H(z)ARUp

1akzkk1 由上式得 p X(z)akkzX(z)U(z)

k1 取逆Z变换，得系统的差分方程 p x(n)akx(nk)u(n) （1）

k1 或

x(n)pakx(nk)u(n)

k1

pa(mk)2kRxx,(2) 证明x(n)的自相关序列满足差分方程Rm0k1xx(m)= pakRxx(mk),m1k1解：将式（2）代入x(n)自相关序列定义式，得

Rxx(m)Ex[n(x)n(m)]pE{x(n)[akn(mk)un(m)]}k1

pax)n(mk)]Exn[u(n)m( )（]3）

kE[x(nk1pakRxx(mk)Rxum()k1 设系统的单位取样响应为h(n),则系统的输出为  x(n)h(l)u(nl)

l0 因此，式（3）中的Rxu(m)为

98

Rxu(m)E[x(n)u(nm)]E{h(l)u(nl)u(nm)}l0 h(l)E[u(nl)u(nm)] （4）

l0h(l)2(ml)l02h(m) 由于系统是因果系统，有h(m)=0(m<0)或h(-m)=0(m>0)，所以式（4）可写成2 Rh(0),m0xu(m)0,m0 （5）

 其中h(0)可用初值定理求得 h(0)lim1zHAR(z)limzp1

1akkzk1 因此，式（5）化为

R2,m0xu(m) 0,m0 （6）

将式（6）代入式（3），最后得

p RakRxx(mk)2,m0k1xx(m)p

akRxx(mk),m0k1

qbkkz5.21设线性移不变系统的传输函数为Hk1ARMA(z)=

p重做题5.20。

1akkzk1

99