思路方法 Ｓ 一张丽华 圆锥曲线的轨迹问题是高考中的热点之一，但 许多同学对求解步骤“不懂章法”，往往陷入思维混 乱的状态，兜了一大圈子仍空手而归。因此为了同 （Ｉ）求ＡＤ边所在直线的方程；（Ⅱ）求矩形 ＡＢＣＤ外接圆的方程； （ｉＨ）若动圆Ｐ过点Ⅳ（一２，０），且与矩形ＡＢＣＤ 学们能对各种轨迹问题做到有的放矢、化解自如。 本文结合近几年考题剖析，介绍几种探求轨迹的有 效方法以 们参考。 系＝二姜 要… 誓 兰 ． “，…… … ，这些条件简单明确，易于表达成含未知数 ，Ｙ 、 量关 的等式，姗点 从而得到轨迹方程， ，这种方法叫直接法 网 Ｉ ｝ｌ ＝一 Ｐ０ １， 女口为平面上的动 Ｉ ｌ Ｆ 点，足为点Ｑ，过Ｐ作直线ｚ葡。求动点Ｐ的轨迹Ｃ的 且 ・ 的垂线，： ．垂—＿ｉ ｔＪ－ —ｒ—— Ｉ ｌＩ 方程。 解法一：（Ｉ）设点Ｐ（ ， ），则（）（一１，ｙ），由 ・ ＝ ・葡，得 （ ＋１，０）・（２，一Ｙ） ：（ —Ｉ，ｙ）・（一２，ｙ），化 简得Ｃ：Ｙ ：４ｘ。 Ｑ ｐ／ 点评：本题解法，利 用题目条件设出Ｐ、Ｑ的 。 坐标，根据向量表达式直 ¨ ｆ 接将向量坐标代入求出 ／ 轨迹方程。 二、定义法 运用解析几何中一些常用定义（如圆锥曲线的 定义），可从曲线定义出发直接写出轨迹方程，或从 曲线定义出发建立关系式，从而求出轨迹方程。 如例ｌ（解法二）：（Ｉ）由 ． ：讳．葡，得 葡・（葡＋ ）：０， ‘．．ｔＰＱ—ＰＦ）・ｔＰＱ＋ＰＦ）：０，．‘．ＰＱ２一ＰＦ２：０， ・．．Ｉ葡Ｉ＝Ｉ膏Ｉ。 所以点Ｐ的轨迹Ｃ是抛物线，由题意，轨迹Ｃ 的方程为，一 ＝４ｘ。 点拨：解决本题的关键是寻找动点Ｐ满足的条 件，通过题目中给出的条件，找出点Ｐ的轨迹符合 抛物线的定义。 例２（０７年北京）矩形ＡＢＣＤ的两条对角线相交 于点Ｍ（２，０），ＡＢ边所在直线的方程为 ～３Ｙ一６： ０，点Ｔ（一１，１）在ＡＤ边所在直线上。 的外接圆外切，求动圆Ｐ的圆心的轨迹方程。 解：（Ｉ）因为ＡＢ边所在直线的方程为 一３ｖ一 ６：０，且ＡＤ与仙垂直，所以直线ＡＤ的斜率为 ３。 又因为点７＇（一１，为、，， １）在直线ＡＤ上，所以ＡＤ边所在 …” ：＋１）一，３ｘ ＋ ｙ ＋２＝ Ｏｏ 一２），（Ⅱ）因为矩由｛ｔ 一３形ｘ ’一： ：’解得点Ａ的坐标为（对角线的交点为 （０，２， ０）ｗ。∥。： 缈 ，。。恢 刚 。。＾ ｌ ＡＭＩ＝、从而矩形Ａ／， 『二 ＝２ 。 ：８ ＢＣＤ外接圆的方程为（ 一２） ＋ｙ （Ⅲ）因为动圆Ｐ过点Ⅳ，所以Ｊ ＰＮ Ｊ是该圆的 半径，又因为动圆Ｐ与圆 外切， 所以ｆ ＰＭｆ＝ｆ ＰＮｆ＋２√２，即ｆ ＰＭＩ— ｌ ＰＮｌ＝２√２。故点Ｐ的轨迹是以Ｍ，Ⅳ为焦点，实 轴长为２√２的双曲线的左支。因为实半轴长ｎ＝ √２，半焦距ｃ＝２。 所以虚半轴长ｂ＝￣／ｃ 一。 ：√２．从而动圆Ｐ ． ２ ２ 的圆心的轨迹方程为 一々＝１（ ≤一√２）。 点拨：本题根据题目的几何条件寻找动点Ｐ满 足的条件，通过题目中给出的条件，结合定义判断动 点的轨迹方程是双曲线的一支。 三、相关点法 动点所满足的条件不易表述或求出，但形成轨 迹的动点Ｐ（ ，ｙ）却随着另一动点９（ ，Ｙ ）的运动 而有规律地运动，且动点Ｑ的轨迹为给定或容易求 得，则可先将 ，Ｙ 表示为 ，Ｙ的式子，再代人满足 Ｑ的轨迹方程，然后整理得满足Ｐ的轨迹方程。此 法也称代入法。 四、参数法 求解轨迹方程有时很难直接找出动点的横坐 标、纵坐标之间的关系，则可借助中问变量（参数）， 建立起联系，然后再从所求式子中消去参数，得出动 点的轨迹方程。 （作者单位：湖南省汉寿县龙池实验中学）
