高中必修第一册《4.3 对数》优质课教案教学设计

教学过程 设计意图 核心教学素养目标

4.3.2对数的运算

本节课是新版教材人教A版普通高中课程标准实验教科书数学必修1第四章第4.3.2节《对数的运算》。其核心是弄清楚对数的定义，掌握对数的运算性质，理解它的关键就是通过实例使学生认识对数式与指数式的关系，分析得出对数的概念及对数式与指数式的互化，通过实例推导对数的运算性质。由于它还与后续很多内容，比如对数函数及其性质,这也是高考必考内容之一，所以在本学科有着很重要的地位。解决重点的关键是抓住对数的概念、并让学生掌握对数式与指数式的互化；通过实例推导对数的运算性质，让学生准确地运用对数运算性质进行运算，学会运用换底公式。培养学生数算、数学抽象、逻辑推理和数学建模的核心素养。

课程目标 1、理解对数的概念，能进行指数式与对数式的互化； 2、了解常用对数与自然对数的意义，理解对数恒等式并能运用于有关对数计算。 3、通过转化思想方法的运用，培养学生转化的思想观念及逻辑思维能力。

教学重点： 准确地运用对数运算性质进行运算，求值、化简，并掌握化简求值 教学难点：根据指对数的互化推导对数运算性质及换底公式。

学科素养 a.数学抽象：对数的运算性质； b.逻辑推理：对数运算性质的推导； c.数算：对数运算性质的运用； d.直观想象：指数与对数的关系； e.数学建模：在实际问题中运用对数运算性质及换底公式；

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（一）、温故知新 1．对数 (1)指数式与对数式的互化及有关概念： 温故知新，通过对上节对数概念及指对数互化，为对数运算性质的推导做准备。 培养和发展逻辑推理和数学抽象的核心素养。 (2)底数a的范围是________________. （二）、探索新知 问题提出：在引入对数之后，自然应研究对数的运算性质．你认为可以怎样研究？ 我们知道了对数与指数间的关系，能否利用指数幂运算性质得出相应的对数运算性质呢？ 探究一：对数的运算性质 回顾指数幂的运算性质： 通过对指数运算性质的回顾，类比推导对数运算性质，，发amanamn，amanamn，(am)namn． 把指对数互化的式子具体化： 展学生逻辑推设Mam，Nan， 于是有MN理，数学抽象、amn,MNamn,MnamnlogaMm,logaNn． 数算等核心素养； mnmn，logaamnmn，根据对数的定义有：logaalogaamnmn． 于是有对数的运算性质： 如果a0，且a1时，M>0，N>0，那么： （1）loga(MN)（2）loga ；（积的对数等于两对数的和） MN ；（商的对数等于两对数的差） ；（nR）．（幂的对数等于幂指数乘n（3）logaM以底数的对数） 1．思考辨析 2

(1)积、商的对数可以化为对数的和、差．( ) (2)loga(xy)＝logax·logay.( ) (3)log2(－3)2＝2log2(－3)．( ) [答案] (1)√ (2)× (3)× 例1．求下列各式的值 （1）log84＋log82；（2）log510－log52 （3）log2（47×25） 解：（1）log84＋log82＝log88＝1. （2）log510－log52＝log55＝1 (3) log2（47×25）= log2219 =19 跟踪训练1 计算下列各式的值： 1324(1)lg －lg 8＋lg 245； 24932(2)lg 52＋lg 8＋lg 5·lg 20＋(lg 2)2； 3lg 2＋lg 3－lg 10(3). lg 1.81431[解] (1)原式＝(5lg 2－2lg 7)－·lg 2＋(2lg 7＋lg 5) 232251＝lg 2－lg 7－2lg 2＋lg 7＋lg 5 2211111＝lg 2＋lg 5＝(lg 2＋lg 5)＝lg 10＝. 22222(2)原式＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5(2lg 2＋lg 5)＋(lg 2) ＝2lg 10＋(lg 5＋lg 2)2 ＝2＋(lg 10)2＝2＋1＝3. 118lg 2＋lg 9－lg 10lg 210lg 1.81(3)原式＝＝＝＝. lg 1.82lg 1.82lg 1.82[规律方法] 1.利用对数性质求值的解题关键是化异为同，先使各项底数相同，再找真数间的联系． 2．对于复杂的运算式，可先化简再计算；化简问题的常用方法：①“拆”：将积(商)的对数拆成两对数之和(差)；②“收”：将同底对数的和(差)收成积(商)的对数． 2 通过典例问题的分析，让学生进一步熟悉对数运算性质。深化对对数运算性质的理解。 例2.用lnx,lny,lnz表示下列各式 x2yxy1ln; (2)ln3zz解:1ln xylnxylnzlnxlnlnzz2lnx2y3zlnx2yln3z 3

lnx2lnyln3z 112lnxlnylnz23 通过换底公式的推导及应用，发展学生数算、逻辑推理和数学建模的核心素养； 探究二：换底公式 问题1：前面我们学习了常用对数和自然对数，我们知道任意不等于1的正数都可以作为对数的底，能否将其它底的对数转换为以10或e为底的对数？ 把问题一般化，能否把以a为底转化为以c为底？ 探究：设logabp，则apb，对此等式两边取以c为底的对数，得p到：logcalogcb，根据对数的性质，有：plogcalogcb， 所以plogcb． logcalogcb．其中a0，且a1，c0，且c1． logca ；称为换底公式． 即logab公式logab用换底公式可以很方便地利用计算器进行对数的数值计算． 在4.2.1的问题1中，求经过多少年B地景区的游客人次是2001年的2倍，就是计算 𝑥=𝑙𝑜𝑔1.112 的值。 由换底公式可得;𝑥=𝑙𝑜𝑔1.112=利用计算工具，可得𝑥=𝑙𝑔2𝑙𝑔1.11𝑙𝑔2𝑙𝑔1.11， ≈6.≈7， 由此可得，大约经过7年，B地景区的 游客人次就达到2001年的2倍，类似地， 可以求出游客人次是2001年的3倍，4倍， …所需要的年数。 例3.尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放出的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震M之间的关系为 lgE4.81.5M 2011年3月11日，日本东北部海域发生里氏9.0级地震， 4

它所释放出来的能量是2008年5月12日我国汶川 发生里氏8.0级地震的多少倍（精确到1）？ 解:设里氏9.0级和里氏8.0级地震的能量分别为E和E 12由lgE4.81.5M, 可得；lgE14.81.59.0,lgE24.81.58.0于是lgE1lgE1-lgE2E2 =（4.81.59.0）-（4.81.58.0）=1.5设里利用计算工具可得， E1101.532E2 虽然里氏9.0级和里氏8.0级地震仅相差1级，但前者释放出的能量却是后者的约32倍。 跟踪训练2求值： (1)log23·log35·log516； (2)(log32＋log92)(log43＋log83)． lg 3lg 5lg 16lg 1lg 2[解] (1)原式＝··＝＝＝4. lg 2lg 3lg 5lg 2lg 2lg 2lg 2lg 3lg 3(2)原式＝lg 3＋lg 9lg 4＋lg 8 lg 2lg 2lg 3lg 33lg 25lg 35＝＝. lg 3＋2lg 32lg 2＋3lg 2＝2lg 3·6lg 24三、当堂达标 1．计算：log153－log62＋log155－log63＝( ) A．－2 B．0 C．1 D．2 【答案】B [原式＝log15(3×5)－log6(2×3)＝1－1＝0.] 2．计算log92·log43＝( ) 11A．4 B．2 C. D. 24lg 2lg 31【答案】D [log92·log43＝·＝.] lg 9lg 443．设10a＝2，lg 3＝b，则log26＝( ) a＋bbA. B. C．ab D．a＋b aa【答案】B [∵10a＝2，∴lg 2＝a， lg 6lg 2＋lg 3a＋b∴log26＝＝＝.] lg 2lg 2a4． log816＝________.

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通过练习巩固本节所学知识，巩固对数的概念及其性质，增强学生的数学抽象、数算、逻辑推理的核心素养。 44【答案】 [log816＝log2324＝.] 3375．计算：(1)log535－2log5＋log57－log51.8； 3 (2)log271＋log212－log242－1. 482

9【答案】(1)原式＝log5(5×7)－2(log57－log53)＋log57－log5 5＝log55＋log57－2log57＋2log53＋log57－2log53＋log55＝2. (2)原式＝log27＋log212－log242－log22 48＝log23－7×12132＝log2＝log22＝－. 248×42×222学生根据课堂学习，自主总结知识要点，及运用的思想方法。注意总结自己在学习中的易错点； 四、小结 1.对数的运算法则。 2.利用定义及指数运算证明对数的运算法则。 3.对数运算法则的应用。 4.换底公式的证明及应用。 五、作业 1. 课时练 2. 预习下节课内容 6