北师大版高中数学必修一综合测试题(一).docx

必修1全册 综合测试题(一)

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．

满分150分．考试时间120分钟．

第Ⅰ一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．(2011·新课标文)已知集合M＝{0,1,2,3,4}，N＝{1,3,5}，P＝M∩N，则P的子集共有( )

A．2个 C．6个

B．4个 D．8个

2．(2012·银川高一检测)设函数f(x)＝logax(a>0，且a≠1)在(0，＋∞)上单调递增，则f(a＋1)与f(2)的大小关系是( )

A．f(a＋1)＝f(2) C．f(a＋1)B．f(a＋1)>f(2) D．不确定

1

3．下列函数中，与函数y＝有相同定义域的是( )

xA．f(x)＝lnx C．f(x)＝|x|

1

B．f(x)＝x D．f(x)＝ex

4．(2011·北京文)已知全集U＝R，集合P＝{x|x2≤1}，那么∁UP

桑水

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＝( )

A．(－∞，－1) C．(－1,1)

B．(1，＋∞)

D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)

5．函数y＝lnx＋2x－6的零点，必定位于如下哪一个区间( ) A．(1,2) C．(3,4)

B．(2,3) D．(4,5)

6．已知f(x)是定义域在(0，＋∞)上的单调增函数，若f(x)>f(2－x)，则x的取值范围是( )

A．x>1 C．0y1>y2 C．y1>y2>y3

0.9

0.48

B．x<1 D．11－1.5

，y3＝(2)，则( )

B．y2>y1>y3 D．y1>y3>y2

8．(2012·德阳高一检测)已知log32＝a,3b＝5，则log330由a，b表示为( )

1

A.2(a＋b＋1) 1

C.3(a＋b＋1)

1

B.2(a＋b)＋1 1

D.2a＋b＋1

9．若a>0且a≠1，f(x)是偶函数，则g(x)＝f(x)·loga(x＋x2＋1)是( )

A．奇函数 C．非奇非偶函数

B．偶函数

D．奇偶性与a的具体值有关

10．定义两种运算：a⊕b＝a2－b2，a⊗b＝a－b2，则函数f(x)2⊕x＝的解析式为( ) x⊗2－2

桑水

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4－x2A．f(x)＝x，x∈[－2,0)∪(0,2) x2－4

B．f(x)＝x，x∈(－∞，2]∪[2，＋∞) x2－4

C．f(x)＝－x，x∈(－∞，2]∪[2，＋∞) 4－x2D．f(x)＝－x，x∈[－2,0)∪(0,2]

第Ⅱ

二、填空题(本大题共5个小题，每小题5分，共25分，把答案

填在题中横线上)

411．幂函数f(x)的图像过点(3，27)．则f(x)的解析式是________． 112．(2011·安徽文)函数y＝2的定义域是________． 6－x－x13．设函数f(x)＝x(ex＋ae－x)(x∈R)是偶函数，则实数a的值为________．

14．已知f(x6)＝log2x，则f(8)＝________.

a15．已知函数f(x)＝x＋x(x≠0，常数a∈R)，若函数f(x)在x∈[2，

2

＋∞)上为增函数，则a的取值范围为________．

三、解答题(本大题共6个小题，满分75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

16．(本小题满分12分)设全集U为R，A＝{x|x2＋px＋12＝0}，B＝{x|x2－5x＋q＝0}，若(∁UA)∩B＝{2}，A∩(∁UB)＝{4}，求A∪B.

17．(本小题满分12分)(2012·广州高一检测)(1)不用计算器计算：log327＋lg25＋lg4＋7

log72

＋(－9.8)0

桑水

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112

(2)如果f(x－x)＝(x＋x)，求f(x＋1)． x3

18．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝x，

2－1(1)求f(x)的定义域； (2)判断f(x)的奇偶性； (3)求证：f(x)>0.

19．(本小题满分12分)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，并且当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝2x.

1

(1)求f(log23)的值； (2)求f(x)的解析式．

20．(本小题满分13分)已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)和一次函数g(x)＝－bx(b≠0)，其中a，b，c满足a>b>c，a＋b＋c＝0(a，b，c∈R)．

(1)求证：两函数的图像交于不同的两点； (2)求证：方程f(x)－g(x)＝0的两个实数根都小于2.

21．(本小题满分14分)一片森林原来面积为a，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用1时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的4，已2

知到今年为止，森林剩余面积为原来的2，

(1)求每年砍伐面积的百分比；

(2)至今年为止，该森林已砍伐了多少年？ (3)今后最多还能砍伐多少年？

1[答案] B

桑水

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[解析] 本题考查了集合运算、子集等，含有n个元素的集合的所有子集个数是2n.

∵M＝{0,1,2,3,4}，N＝{1,3,5}，∴M∩N＝{1,3}， 所以P的子集个数为22＝4个． 2[答案] B

[解析] ∵f(x)＝logax在(0，＋∞)上单调递增， ∴a>1，∴a＋1>2， ∴f(a＋1)>f(2)，故选B. 3[答案] A

1

[解析] 函数y＝的定义域为(0，＋∞)，故选A.

x4[答案] D

[解析] 本题考主要考查集合的运算与解不等式问题． P＝{x|x2≤1}＝{x|－1≤x≤1}， 所以∁UP＝(－∞，－1)∪(1，＋∞)． 5[答案] B

[解析] 令f(x)＝lnx＋2x－6，设f(x0)＝0， ∵f(1)＝－4<0，f(3)＝ln3>0， 又f(2)＝ln2－2<0，f(2)·f(3)<0， ∴x0∈(2,3)． 6[答案] D

x>0

由已知得2－x>0

x>2－x

[解析]

x>0

⇒x<2x>1

桑水

，

∴x∈(1,2)，故选D. 7[答案] D

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[解析] ∵y1＝40.9＝21.8， y2＝80.48＝(23)0.48＝21.44，y3＝21.5， 又∵函数y＝2x是增函数，且1.8>1.5>1.44. ∴y1>y3>y2. 8[答案] A

[解析] 3b＝5，b＝log35， log3

11

30＝2log330＝2log3(3×10)

1

＝2(1＋log310)

11

＝2(1＋log32＋log35)＝2(a＋b＋1)． 9[答案] A

[解析] g(－x)＝f(－x)·loga(－x＋x＋1)＝f(x)·loga＝－f(x)·loga(x＋x2＋1)＝－g(x)． 则g(x)是奇函数． 10[答案] D

[解析] ∵a⊕b＝a2－b2，a⊗b＝a－b2， 2⊕x22－x24－x2∴f(x)＝＝＝. 2x⊗2－2|x－2|－2x－2－2∵－2≤x≤2且|x－2|－2≠0，即x≠0， 4－x24－x2∴f(x)＝＝－x，x∈[－2,0)∪(0,2]．

2－x－211[答案] f(x)＝x

4[解析] 设f(x)＝xα，将(3，27)代入，

34

21

2x＋1＋x

桑水

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3

得3＝27＝3 ，则α＝4.∴f(x)＝x .

α

4

3434

12[答案] {x|－3[解析] 该题考查函数的定义域，考查一元二次不等式的解法，注意填定义域(集合)．

由6－x－x2>0， 得x2＋x－6<0， 即{x|－3[解析] ∵f(－x)＝f(x)对任意x均成立，∴(－x)·(e－x＋aex)＝x(ex

＋ae－x)对任意x恒成立，

∴x(－aex－e－x)＝x(ex＋ae－x)，∴a＝－1. 114[答案] 2 1

[解析] ∵f(x)＝log2x＝6log2x6，

6

1

∴f(x)＝6log2x，

111

∴f(8)＝6log28＝6log223＝2. 15[答案] (－∞，16]

[解析] 任取x1，x2∈[2，＋∞)，且x1aa22

f(x1)－f(x2)＝x1＋x－x2－x

12

x1－x2

＝xx[x1x2(x1＋x2)－a]，

12

要使函数f(x)在x∈[2，＋∞)上为增函数，需使f(x1)－f(x2)<0恒成立．

桑水

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∵x1－x2<0，x1x2>4>0，∴a4，∴x1x2(x1＋x2)>16，∴a≤16， 即a的取值范围是(－∞，16]．

16[解析] ∵(∁UA)∩B＝{2}，A∩(∁UB)＝{4}， ∴2∈B,2∉A,4∈A,4∉B，根据元素与集合的关系，

24＋4p＋12＝0p＝－7，可得2，解得

2－10＋q＝0q＝6.

∴A＝{x|x2－7x＋12＝0}＝{3,4}，B＝{x|x2－5x＋6＝0}＝{2,3}，经检验符合题意．

∴A∪B＝{2,3,4}．

17[解析] (1)原式＝log33 ＋lg(25×4)＋2＋1 313＝2＋2＋3＝2. 112

(2)∵f(x－x)＝(x＋x) 112

＝x＋x2＋2＝(x＋x2－2)＋4

2

32

1

＝(x－x)2＋4 ∴f(x)＝x2＋4 ∴f(x＋1)＝(x＋1)2＋4 ＝x2＋2x＋5.

18[解析] (1)由2x－1≠0，即2x≠1，得x≠0， 所以函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．

(2)因为f(1)＝1，f(－1)＝2，所以f(－1)≠f(1)，且f(－1)≠－f(1)，所以f(x)既不是奇函数也不是偶函数．

(3)由于函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，

桑水

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因为当x>0时，2x>1,2x－1>0，x3>0，所以f(x)>0； 当x<0时，0<2x<1,2x－1<0，x3<0，所以f(x)>0. 综上知f(x)>0.本题得证．

19[解析] (1)因为f(x)为奇函数，且当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝2x， 1

所以f(log23)＝f(－log23)＝－f(log23) ＝－2

log2

3

＝－3.

(2)设任意的x∈(－∞，0)，则－x∈(0，＋∞)， 因为当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝2x，所以f(－x)＝2－x， 又因为f(x)是定义在R上的奇函数，则f(－x)＝－f(x)， 所以f(x)＝－f(－x)＝－2－x，即当x∈(－∞，0)时，f(x)＝－2－x； 又因为f(0)＝－f(0)，所以f(0)＝0，



综上可知，f(x)＝0，x＝0

－2x，x<0

－

x2，x>0

.

20[解析] (1)若f(x)－g(x)＝0，则ax2＋2bx＋c＝0， ∵Δ＝4b2－4ac＝4(－a－c)2－4ac c232

＝4[(a－2)＋4c]>0，

故两函数的图像交于不同的两点．

(2)设h(x)＝f(x)－g(x)＝ax2＋2bx＋c，令h(x)＝0可得ax2＋2bx＋c＝0.由(1)可知，Δ>0.

∵a>b>c，a＋b＋c＝0(a，b，c∈R)，∴a>0，c<0， ∴h(2)＝4a＋4b＋c＝4(－b－c)＋4b＋c＝－3c>0， 2b－ba＋cc

－2a＝a＝a＝1＋a<2，

桑水

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即有h2>0

2b－2a<2Δ>0a>0

110

，结合二次函数的图像可知，

方程f(x)－g(x)＝0的两个实数根都小于2. 21[解析] (1)设每年砍伐的百分比为x(0则a(1－x)＝2a，即(1－x)＝2，

10

1

解得x＝1－(2) .

2

(2)设经过m年剩余面积为原来的2， 2

则a(1－x)＝2a，

m

1101m1即(2) ＝(2) ，10＝2，

解得m＝5，故到今年为止，已砍伐了5年． (3)设从今年开始，以后砍了n年， 2

则n年后剩余面积为2a(1－x)n， 212nn

令2a(1－x)≥4a，即(1－x)≥4， 1101n3

(2) ≥(2) ，10≤2，解得n≤15. 故今后最多还能砍伐15年． n

32

m

12

桑水