华安县实验中学2018-2019学年上学期高三数学10月月考试题

一、选择题

1． 2016年3月“”期间，有代表提出适当下调“五险一金”的缴存比例，现拟从某工厂职工中抽取

20名代表调查对这一提案的态度，已知该厂青年，中年，老年职工人数分别为350，500，150，按分

层抽样的方法，应从青年职工中抽取的人数为（ ）A. 5 B.6 C.7 D.10【命题意图】本题主要考查分层抽样的方法的运用，属容易题.

2． 已知全集I={1，2，3，4，5，6，7，8}，集合M={3，4，5}，集合N={1，3，6}，则集合{2，7，8}是（

）

B．M∩NC．∁IM∪∁IND．∁IM∩∁IN

）

A．M∪N

2)，b(3，2)，若kab与a垂直，则实数k值为（ 3． 已知平面向量a(1，111A． B． C．11 D．19

59【命题意图】本题考查平面向量数量积的坐标表示等基础知识，意在考查基本运算能力．4． 已知函数f(x)cos(x的图象（ A．向右平移

）

3)，则要得到其导函数yf'(x)的图象，只需将函数yf(x)22C. 向右平移个单位

35． 已知A．

B．

个单位 B．向左平移

22D．左平移个单位

3）

D．

个单位

，则tan2α=（

C．

6． 在等比数列{an}中，a1an82，a3an281，且数列{an}的前n项和Sn121，则此数列的项数n等于（ A．4

）B．5

C．6

D．7

【命题意图】本题考查等比数列的性质及其通项公式，对逻辑推理能力、运算能力及分类讨论思想的理解有一定要求，难度中等.

7． 已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，

.若

,f(x-1)≤f(x),则实数a的取值范围为A[

]

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B[C[D[

8． 已知A．　9． 以椭圆

]]

]

，B．

，那么C．﹣2

夹角的余弦值（

D．﹣

）

+=1的顶点为焦点，焦点为顶点的双曲线C，其左、右焦点分别是F1，F2，已知点M坐标为

=

，则

﹣S

（

（2，1），双曲线C上点P（x0，y0）（x0＞0，y0＞0）满足）A．2

B．4

C．1

D．﹣1

10．已知集合AxN|x5，则下列关系式错误的是（ A．5A

B．1.5A

）

D．0AC．1A

二、填空题

11．空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点．①若AC=BD，则四边形EFGH是　　　　　　；②若AC⊥BD，则四边形EFGH是　　　　　　．　

12．方程（x+y﹣1）

=0所表示的曲线是　　　　　　．13．某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为　　．14．（本小题满分12分）点M（2pt，2pt2）（t为常数，且t≠0）是拋物线C：x2＝2py（p＞0）上一点，过M作倾斜角互补的两直线l1与l2与C的另外交点分别为P、Q.

（1）求证：直线PQ的斜率为－2t；

（2）记拋物线的准线与y轴的交点为T，若拋物线在M处的切线过点T，求t的值．15．如果椭圆

+

=1弦被点A（1，1）平分，那么这条弦所在的直线方程是　　　　　　．　

16．不等式x2+x﹣2＜0的解集为　　．第 2 页，共 16 页

三、解答题

17．如图，矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，BE∥CF，BC⊥CF，（Ⅰ）求证：EF⊥平面DCE；

（Ⅱ）当AB的长为何值时，二面角A﹣EF﹣C的大小为60°．

，EF=2，BE=3，CF=4．

18．已知双曲线过点P（﹣3（1）求双曲线的标准方程；

，4），它的渐近线方程为y=±x．

（2）设F1和F2为该双曲线的左、右焦点，点P在此双曲线上，且|PF1||PF2|=41，求∠F1PF2的余弦值．

19．某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：

[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]（Ⅰ）求图中x的值，并估计该班期中考试数学成绩的众数；

（Ⅱ）从成绩不低于90分的学生和成绩低于50分的学生中随机选取2人，求这2人成绩均不低于90分的概率．

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20．如图，在三棱锥 PABC中，E,F,G,H分别是AB,AC,PC,BC的中点，且

PAPB,ACBC.

（1）证明： ABPC；

（2）证明：平面 PABA平面 FGH.

21．【南师附中2017届高三模拟一】已知a,b是正实数，设函数fxxlnx,gxaxlnb.

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（1）设hxfxgx ，求 hx的单调区间；（2）若存在x0，使x0bab3abfxgx且成立，求的取值范围.,00a4522．（本小题满分10分）已知圆P过点A(1,0)，B(4,0).

（1）若圆P还过点C(6,2)，求圆P的方程； （2）若圆心P的纵坐标为，求圆P的方程.

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华安县实验中学2018-2019学年上学期高三数学10月月考试题（参）

一、选择题

1． 【答案】C

2． 【答案】D

【解析】解：∵全集I={1，2，3，4，5，6，7，8}，集合M={3，4，5}，集合N={1，3，6}，∴M∪N={1，2，3，6，7，8}，M∩N={3}；

∁IM∪∁IN={1，2，4，5，6，7，8}；∁IM∩∁IN={2，7，8}，故选：D．　

3． 【答案】A

4． 【答案】B 【解析】

试题分析：函数fxcosx5,f'xsinxcosx，所以函数336fxcosx，所以将函数函数yf(x)的图象上所有的点向左平移个单位长度得到

325ycosxcosx，故选B.

326考点：函数yAsinx的图象变换.

5． 【答案】C【解析】解：∵

，又sin2α+cos2α=1，

联立解得，或

故tanα==，或tanα=3，

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代入可得tan2α===﹣，

或tan2α=故选C

==

【点评】本题考查二倍角的正切公式，涉及同角三角函数的基本关系，属中档题．　

6． 【答案】B

7． 【答案】B【解析】当x≥0时，

f（x）=，

由f（x）=x﹣3a2，x＞2a2，得f（x）＞﹣a2；当a2＜x＜2a2时，f（x）=﹣a2；

由f（x）=﹣x，0≤x≤a2，得f（x）≥﹣a2。∴当x＞0时，

∵函数f（x）为奇函数，∴当x＜0时，

。。

∵对∀x∈R，都有f（x﹣1）≤f（x），∴2a2﹣（﹣4a2）≤1，解得：故实数a的取值范围是8． 【答案】A

。

。

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【解析】解：∵∴

=

，||=＞=

，

=

，

=﹣1×1+3×（﹣1）=﹣4，

=﹣

，

，

∴cos＜故选：A．

【点评】本题考查了向量的夹角公式，属于基础题．　

9． 【答案】 A

【解析】解：∵椭圆方程为

+

=1，

∴其顶点坐标为（3，0）、（﹣3，0），焦点坐标为（2，0）、（﹣2，0），∴双曲线方程为

，

设点P（x，y），记F1（﹣3，0），F2（3，0），∵∴

，

整理得：

化简得：5x=12y﹣15，又∵∴5

解得：y=或y=∴P（3，），

∴直线PF1方程为：5x﹣12y+15=0，∴点M到直线PF1的距离d=

易知点M到x轴、直线PF2的距离都为1，

结合平面几何知识可知点M（2，1）就是△F1PF2的内心．

=1，

，

﹣4y2=20，（舍），

=5，

=

，

=

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故故选：A．

﹣===2，

【点评】本题考查椭圆方程，双曲线方程，三角形面积计算公式，注意解题方法的积累，属于中档题．　

10．【答案】A 【解析】

试题分析：因为AxN|x5 ，而1.5N,1N,.5A,1A，即B、C正确，又因为0N且05，所以0A，即D正确，故选A. 1考点：集合与元素的关系.

二、填空题

11．【答案】 　菱形　；　矩形　．

【解析】解：如图所示：①∵EF∥AC，GH∥AC且EF=AC，GH=AC∴四边形EFGH是平行四边形又∵AC=BD∴EF=FG

∴四边形EFGH是菱形．

②由①知四边形EFGH是平行四边形又∵AC⊥BD，∴EF⊥FG

∴四边形EFGH是矩形．故答案为：菱形，矩形

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【点评】本题主要考查棱锥的结构特征，主要涉及了线段的中点，中位线定理，构成平面图形，研究平面图形的形状，是常考类型，属基础题．　

12．【答案】　两条射线和一个圆　．

【解析】解：由题意可得x2+y2﹣4≥0，表示的区域是以原点为圆心的圆的外部以及圆上的部分．由方程（x+y﹣1）

=0，可得x+y﹣1=0，或 x2+y2=4，

故原方程表示一条直线在圆外的地方和一个圆，即两条射线和一个圆，故答案为：两条射线和一个圆．

【点评】本题主要考查直线和圆的方程的特征，属于基础题．　

13．【答案】　12　．

【解析】解：设两者都喜欢的人数为x人，则只喜爱篮球的有（15﹣x）人，只喜爱乒乓球的有（10﹣x）人，由此可得（15﹣x）+（10﹣x）+x+8=30，解得x=3，所以15﹣x=12，即所求人数为12人，故答案为：12．　

14．【答案】

【解析】解：（1）证明：l1的斜率显然存在，设为k，其方程为y－2pt2＝k（x－2pt）．①将①与拋物线x2＝2py联立得，x2－2pkx＋4p2t（k－t）＝0，

解得x1＝2pt，x2＝2p（k－t），将x2＝2p（k－t）代入x2＝2py得y2＝2p（k－t）2，∴P点的坐标为（2p（k－t），2p（k－t）2）．

由于l1与l2的倾斜角互补，∴点Q的坐标为（2p（－k－t），2p（－k－t）2），

2p（－k－t）2－2p（k－t）2

∴kPQ＝＝－2t，

（－－）－（－）kt2pkt2p第 10 页，共 16 页

即直线PQ的斜率为－2t.

2x（2）由y＝得y′＝x，2pp∴拋物线C在M（2pt，2pt2）处的切线斜率为k＝2pt＝2t.其切线方程为

y－2pt2＝2t（x－2pt），

p又C的准线与y轴的交点T的坐标为（0，－p）．

2

∴－p－2pt2＝2t（－2pt）．

2

解得t＝±1，即t的值为±1.22

15．【答案】　x+4y﹣5=0　．

【解析】解：设这条弦与椭圆

+

=1交于P（x1，y1），Q（x2，y2），

由中点坐标公式知x1+x2=2，y1+y2=2，把P（x1，y1），Q（x2，y2）代入x2+4y2=36，得

，

①﹣②，得2（x1﹣x2）+8（y1﹣y2）=0，∴k=

=﹣，

∴这条弦所在的直线的方程y﹣1=﹣（x﹣1），即为x+4y﹣5=0，

由（1，1）在椭圆内，则所求直线方程为x+4y﹣5=0．故答案为：x+4y﹣5=0．

【点评】本题考查椭圆的方程的运用，运用点差法和中点坐标和直线的斜率公式是解题的关键．　

16．【答案】　（﹣2，1）　．

【解析】解：方程x2+x﹣2=0的两根为﹣2，1，且函数y=x2+x﹣2的图象开口向上，所以不等式x2+x﹣2＜0的解集为（﹣2，1）．故答案为：（﹣2，1）．

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【点评】本题考查一元二次不等式的解法，属基础题，深刻理解“三个二次”间的关系是解决该类题目的关键，解二次不等式的基本步骤是：求二次方程的根；作出草图；据图象写出解集．　

三、解答题

17．【答案】

【解析】证明：（Ⅰ）在△BCE中，BC⊥CF，BC=AD=∴DC⊥EF，又DC与EC相交于C，∴EF⊥平面DCE解：（Ⅱ）

方法一：过点B作BH⊥EF交FE的延长线于H，连接AH．由平面ABCD⊥平面BEFC，平面ABCD∩平面BEFC=BC，AB⊥BC，得AB⊥平面BEFC，从而AH⊥EF．所以∠AHB为二面角A﹣EF﹣C的平面角．在Rt△CEF中，因为EF=2，CF=4．EC=

∴∠CEF=90°，由CE∥BH，得∠BHE=90°，又在Rt△BHE中，BE=3，∴

由二面角A﹣EF﹣C的平面角∠AHB=60°，在Rt△AHB中，解得所以当

时，二面角A﹣EF﹣C的大小为60°

，

，BE=3，∴EC=

，

∵在△FCE中，CF2=EF2+CE2，∴EF⊥CE由已知条件知，DC⊥平面EFCB，

方法二：如图，以点C为坐标原点，以CB，CF和CD分别作为x轴，y轴和z轴，建立空间直角坐标系C﹣xyz．

设AB=a（a＞0），则C（0，0，0），A（从而

设平面AEF的法向量为则

，即

，由

，，

，0，a），B（

，

得，

，取x=1，

，0，0），E（

，3，0），F（0，4，0）．

不妨设平面EFCB的法向量为由条件，得解得

．所以当

时，二面角A﹣EF﹣C的大小为60°．

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【点评】本题考查的知识点是用空间向量求平面间的夹角，其中（I）的关键是熟练掌握线线垂直、线面垂直与面面垂直的之间的相互转化，（II）的关键是建立空间坐标系，将二面角问题，转化为向量的夹角问题．　

18．【答案】

【解析】解：（1）设双曲线的方程为y2﹣代入点P（﹣3

，4），可得λ=﹣16，

x2=λ（λ≠0），

∴所求求双曲线的标准方程为

（2）设|PF1|=d1，|PF2|=d2，则d1d2=41，又由双曲线的几何性质知|d1﹣d2|=2a=6，∴d12+d22﹣2d1d2=36即有d12+d22=36+2d1d2=118，又|F1F2|=2c=10，

∴|F1F2|2=100=d12+d22﹣2d1d2cos∠F1PF2∴cos∠F1PF2=

【点评】本题给出双曲线的渐近线，在双曲线经过定点P的情况下求它的标准方程，并依此求∠F1PF2的余弦值．着重考查了双曲线的标准方程与简单几何性质、利用余弦定理解三角形等知识，属于中档题．　

19．【答案】

【解析】解：（Ⅰ）由（0.006×3+0.01+0.054+x）×10=1，解得x=0.018，

前三组的人数分别为：（0.006×2+0.01+0.018）×10×50=20，第四组为0.054×10×50=27人，故数学成绩的众数落在第四组，故众数为75分．

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（Ⅱ）分数在[40，50）、[90，100]的人数分别是3人，共6人，∴这2人成绩均不低于90分的概率P=

=．

【点评】本题考查频率分布直方图及古典概型的问题，前者要熟练掌握直方图的基本性质和如何利用直方图求众数；后者往往和计数原理结合起来考查．　

20．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．【解析】

考

点：平面与平面平行的判定；空间中直线与直线的位置关系.

bb,上单调递增.（2）e7ae【解析】【试题分析】（1）先对函数hxxlnxxlnba,x0,求导得h'xlnx1lnb，再解不

21．【答案】（1）在0,上单调递减，在be等式h'x0得xbb求出单调增区间；解不等式h'x0得x求出单调减区间；（2）先依据题设ee第 14 页，共 16 页

ab3abbabb3abbabb3ab得7，由（1）知hxmin0，然后分、、三种45a4e5e4e5情形，分别研究函数hxxlnxxlnba,x0,的最小值，然后建立不等式进行分类讨论进行求解出

其取值范围eb7：abb，h'x在0,ee解：（1）hxxlnxxlnba,x0,,h'xlnx1lnb，由h'x0得x上单调递减，在b,上单调递增.eab3abb（2）由得7，由条件得hxmin0. 45aabb3abeb3ebbb①当，即时，hxminha，由a0得4e54ea5eeeebb3e.e,eaa5ebab4eab3ab②当时，a上单调递增，b,hx在,e4a45abbabababhxminhlnlnbalnlnba444e44e3·bbab3eeb0，矛盾，不成立.44eb由a0得.

eb3abb3e5eab3ab③当，即时，a上单调递减，b，hx在,e5a5e3e543abb3ab3ab3abhxminhlnlnbalnlnba555e55e2·bb2ab2eb3eb3e时恒成立，综上所述，e7.b0，当553ea5ea522522222．【答案】（1）xy5x7y40；（2）(x)(y2).

24【解析】

试题分析：（1）当题设给出圆上三点时，求圆的方程，此时设圆的一般方程xyDxEyF0，将

22三点代入，求解圆的方程；（2）AB的垂直平分线过圆心，所以圆心的横坐标为

5，圆心与圆上任一点连线2第 15 页，共 16 页

段为半径，根据圆心与半径求圆的标准方程.

试题解析：（1）设圆P的方程是xyDxEyF0，则由已知得

221202D0F0D522404D0F0，解得E7．62(2)26D2EF0F4故圆P的方程为xy5x7y40.

225145，故圆心P(,2)，2225252故圆P的半径r|AP|(1)(02)，

2252252故圆P的标准方程为(x)(y2).

24（2）由圆的对称性可知，圆心P的横坐标为考点：圆的方程

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