一次函数综合题选讲及练习
例1．（2014秋?海曙区期末）如图①所示，直线别交于A、B两点．
（1）当OA=OB时，求点A坐标及直线L的解析式；（2）在（1）的条件下，如图②所示，设（3）当m取不同的值时，点
Q为AB延长线上一点，作直线
，求BN的长；
OB、AB为边，点B为直角
OQ，过A、B两
点分别作AM⊥OQ于M，BN⊥OQ于N，若AM=顶点在第一、二象限内作等腰直角△是，说明理由．
L：y=mx+5m与x轴负半轴，y轴正半轴分
B在y轴正半轴上运动，分别以
OBF和等腰直角△ABE，连EF交y轴于P点，如图③．
PB的长是否为定值？若是，请求出其值；若不
问：当点B在y轴正半轴上运动时，试猜想
变式练习：：变式练习
1．（2014秋?常熟市校级期末）已知：如图交于点A、B，与函数y=﹣x的图象交于点（1）求点B的坐标；
（2）若点Q为直线OC上一点，且S△QAC=3S△AOC，求点Q的坐标；
（3）如图2，点D为线段OA上一点，∠ACD=∠AOC．点P为x轴负半轴上一点，且点到直线CD和直线CO的距离相等．①在图2中，只利用圆规作图找到点②求点P的坐标．
P的位置；（保留作图痕迹，不得在图2中作无关元素．）
P
1，一次函数y=mx+5m的图象与x轴、y轴分别C，点C的横坐标为﹣3．
1
例2．（2014秋?宝安区期末）如图1，已知一次函数y=﹣x+6分别与x、y轴交于A、B两
点，过点B的直线BC交x轴负半轴与点（1）求直线BC的函数表达式；
C，且OC=OB．
（2）如图2，若△ABC中，∠ACB的平分线CF与∠BAE的平分线AF相交于点F，求证：∠AFC=
∠ABC；
P，使△ABP为等腰三角形？若存在，请直接写出
P点的坐标；
（3）在x轴上是否存在点若不存在，请说明理由．
变式练习：变式练习：
2．（2013秋?靖江市校级期末）如图，直线与A点关于y轴对称．动点∠BPQ=∠BAO．（1）点A坐标是
，BC=
．P的坐标．
（2）当点P在什么位置时，△
APQ≌△CBP，说明理由．
l：y=
x+6交x、y轴分别为A、B两点，C点
P、Q分别在线段AC、AB上（点P不与点A、C重合），满足
（3）当△PQB为等腰三角形时，求点
2
课后作业：课后作业：
1．（2015春?宁城县期末）已知，如图直线两坐标轴分别交于（1）求两直线与
A、B两点．
y轴交点A，B的坐标及交点
C的坐标；
y=2x+3与直线y=﹣2x﹣1相交于C点，并且与
（2）求△ABC的面积．
2．如图①，直线y=﹣x+1分别与坐标轴交于（1）求直线AC的解析式；
A，B两点，在y轴的负半轴上截取OC=OB
（2）如图②，在x轴上取一点D（1，0），过D作DE⊥AB交y轴于E，求E点坐标．
3．（2014秋?雨城区校级期中）如图，直线L：y=﹣x+2与x轴、y轴分别交于A、B两点，在y轴上有一点C（0，4），动点M从A点以每秒1个单位的速度沿（1）求A、B两点的坐标；（2）当M在x轴正半轴移动并靠近
0点时，求△COM的面积S与M的移动时间t之间的
M在x轴负半轴上移动时，求△COM
t的取值范围；
函数关系式；当M在O点时，△COM的面积如何？当
x轴向左移动．
的面积S与M的移动时间t之间的函数关系式；请写出每个关系式中（3）当t为何值时△COM≌△AOB，并求此时M点的坐标．
3
参：参：
例1．【考点】一次函数综合题．（2）由勾股定理得出BN的长；
（3）作EK⊥y轴于K点，由AAS证得△ABO≌△BEK，得出对应边相等【解答】解：（1）∵对于直线（2）∵OA=5，AM=OM=
=
OA=BK，EK=OB，
得出EK=BF，再由AAS证明△PBF≌△PKE，得出PK=PB，即可得出结果．
L：y=mx+5m，当y=0时，x=﹣5，当x=0时，y=5m，
∴A（﹣5，0），B（0，5m），∵OA=OB，∴5m=5，解得：m=1，∴直线L的解析式为：y=x+5；
，∴由勾股定理得：
，
【分析】（1）当y=0时，x=﹣5；当x=0时，y=5m，得出
L的解析式；
A（﹣5，0），B（0，5m），由OA=OB，解得：m=1，即可得出直线
OM的长，由AAS证明△AMO≌△ONB，得出BN=OM，即可求出
∵∠AOM+∠AOB+∠BON=180°，∠AOB=90°，∴∠AOM+∠BON=90°，∵∠AOM+∠OAM=90°，∴∠BON=∠OAM，在△AMO和△OBN中，
，
∴△AMO≌△ONB（AAS）∴BN=OM=（3）PB的长是定值，定值为
；理由如下：
OBF和
；
作EK⊥y轴于K点，如图所示：∵点B为直角顶点在第一、二象限内作等腰直角△
等腰直角△ABE，∴AB=BE，∠ABE=90°，BO=BF，∠OBF=90°，∴∠ABO+∠EBK=90°，∵∠ABO+∠OAB=90°，∴∠EBK=∠OAB，在△ABO和△BEK中，∴△ABO≌△BEK（AAS），∴OA=BK，EK=OB，∴EK=BF，在△PBF和△PKE中，
，∴△PBF≌△PKE（AAS），∴PK=PB，
，
∴PB=BK=OA=×5=．
【点评】本题是一次函数综合题目，考查了一次函数解析式的求法、等腰直角三角形的性质、
3）中，
勾股定理、全等三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，难度较大，特别是（需要通过作辅助线两次证明三角形全等才能得出结果．变式练习：变式练习：
1．【考点】一次函数综合题．
4
【分析】（1）把点C的横坐标代入正比例函数解析式，求得点坐标代入一次函数解析式即可求得离是点C到x轴距离的2倍；
（3）①如图2，以点A为圆心，AC长为半径画弧，该弧与∽△DAC，求出AD的长，进而求出到直线的距离公式求出公式，
m的值，则易求点
（2）由S△QAC=3S△AOC得到点Q到x轴的距离是点
C的纵坐标，然后把点C的
B的坐标；
C到x轴距离的3倍或点Q到x轴的距
x轴的交点即为
P；
②如图3，作P1F⊥CD于F，P1E⊥OC于E，作P2H⊥CD于H，P2G⊥OC于G．利用△CAO
D点坐标，再用待定系数法求出
=
CD解析式，利用点
，解出a的值即可．
【解答】解：（1）把x=﹣3代入y=﹣x得到：y=2．则C（﹣3，2）．将其代入y=mx+5m，得：2=﹣3m+5m，解得m=1．则该直线方程为：令x=0，则y=5，即B（0，5）；
（2）由（1）知，C（﹣3，2）．如图1，设Q（a，﹣∴S△QAO=4S△AOC，或S△QAO=2S△AOC，①当S△QAO=4S△AOC时，
OA?yQ=4×OA?yC，∴yQ=4yC，即|﹣a|=4×2=8，
a）．∵S△QAC=3S△AOC，
y=x+5．
解得a=﹣12（正值舍去），∴Q（﹣12，8）；②当S△QAO=2S△AOC时，
OA?yQ=2×OA?yC，∴yQ=2yC，即|﹣a|=2×2=4，
解得a=6（舍去负值），∴Q′（6，﹣4）；综上所述，Q（﹣12，8）或（6，﹣4）．（3）①如图2，以点A为圆心，AC长为半径画弧，该弧与
x轴的交点即为
P；
②如图3，作P1F⊥CD于F，P1E⊥OC于E，作P2H⊥CD于H，P2G⊥OC于G．∵C（﹣3，2），A（﹣5，0），∴AC=
∵∠ACD=∠AOC，∠CAO=∠DAC，∴△CAO∽△DAC，∴∴OD=5﹣=
，则D（﹣
，0）．
=
=2
，
，
，∴AD=
设CD解析式为y=kx+b，把C（﹣3，2），D（﹣，0）分别代入解析式得，
解得，函数解析式为y=5x+17，设P点坐标为（a，0），
根据点到直线的距离公式，=
2
，两边平方得，（5a+17）2=2×4a，
解得a=﹣5±2
，∴P1（﹣5﹣2
，0），P2（﹣5+2，0）．
5
