原码，反码，补码及运算
一、定义
1．原码
正数的符号位为0，负数的符号位为1，其它位按照一般的方法来表示数的绝对值。用这样的表示方法得到的就是数的原码.
【例2.13】当机器字长为8位二进制数时:
X＝＋1011011 ［X］原码＝01011011
Y＝-1011011 ［Y]原码＝11011011
［＋1]原码＝00000001 [－1］原码＝10000001
[＋127]原码＝01111111 ［－127]原码＝11111111
原码表示的整数范围是:
－（2n-1－1）~＋(2n-1－1)，其中n为机器字长。
则：8位二进制原码表示的整数范围是－127~＋127
16位二进制原码表示的整数范围是－32767～＋32767
2．反码
对于一个带符号的数来说，正数的反码与其原码相同，负数的反码为其原码除符号位以外的各位按位取反.
【例2。14】当机器字长为8位二进制数时：
X＝＋1011011 ［X］原码＝01011011 [X]反码＝01011011
Y＝－1011011 [Y]原码＝11011011 [Y]反码＝10100100
［＋1］反码＝00000001 ［－1]反码＝11111110
[＋127]反码＝01111111 ［－127］反码＝10000000
负数的反码与负数的原码有很大的区别，反码通常用作求补码过程中的中间形式。 表示的整数范围与原码相同。
3．补码
正数的补码与其原码相同，负数的补码为其反码在最低位加1.
引入补码以后,计算机中的加减运算都可以统一化为补码的加法运算,其符号位也参与运算。【例2。15】(1）X＝＋1011011 (2） Y＝－1011011
（1）根据定义有: [X]原码＝01011011 ［X］补码＝01011011
反码
（2） 根据定义有： ［Y］原码＝11011011 ［Y]反码＝10100100
［Y]补码＝10100101
补码表示的整数范围是－2n-1~＋（2n-1－1）,其中n为机器字长。
则：8位二进制补码表示的整数范围是－128～＋127（-128 表示为10000000，无对应的原码和反码）
16位二进制补码表示的整数范围是－32768~＋32767
当运算结果超出这个范围时,就不能正确表示数了,此时称为溢出。
所以补码的设计目的是:
⑴使符号位能与有效值部分一起参加运算,从而简化运算规则。
⑵使减法运算转换为加法运算,进一步简化计算机中运算器的线路设计
4．补码与真值之间的转换
正数补码的真值等于补码的本身；负数补码转换为其真值时，将负数补码按位求反，末位加1，即可得到该负数补码对应的真值的绝对值。
【例2。16】［X］补码＝01011001B,[X]补码＝11011001B，分别求其真值X。
（1）［X]补码代表的数是正数，其真值：
X＝＋1011001B
＝＋（1×26＋1×24＋1×23＋1×20）
＝＋（＋16＋8＋1)
（2)[X］补码代表的数是负数,则真值:
二、补码加、减运算规则
1、运算规则
[X＋Y］补= [X]补＋ [Y]补
＝＋(）D
X＝－（［1011001]求反＋1）B
＝－（0100110＋1）B
＝－（0100111)B
＝－（1×25＋1×22＋1×21＋1×20)
＝－（32＋4＋2＋1）
＝－(39)D
[X－Y］补= ［X］补＋ [－Y］补
若已知[Y]补，求［－Y］补的方法是：将［Y］补的各位(包括符号位）逐位取反再在最低位加1即可.
例如：［Y］补= 101101 ［－Y］补= 010011
2、溢出判断,一般用双符号位进行判断:
符号位00 表示正数 11 表示负数
结果的符号位为01时，称为上溢；为10时，称为下溢
例题：设x=0.1101，y=－0.0111，符号位为双符号位
用补码求x+y，x－y
[x]补+［y]补=00 1101+11 1001=00 0110
[x－y]补=[x]补+［－y]补=00 1101+00 0111=01 0100
结果错误,正溢出
数值在计算机中表示形式为机器数,计算机只能识别0和1，使用的是二进制,而在日常生活中人们使用的是十进制.
数值有正负之分，计算机就用一个数的最高位存放符号(0为正,1为负).这就是机器数的原码了.假
设机器能处理的位数为8。即字长为1byte，原码能表示数值的范围为
（—127~-0 +0~127)共256个.
有了数值的表示方法就可以对数进行算术运算。但是很快就发现用带符号位的原码进行乘除运算时结果正确,而在加减运算的时候就出现了问题,如下: 假设字长为8bits
( 1 ) 10— （ 1 )10 = ( 1 ）10 + ( —1 ）10 = （ 0 ）10
(00000001)原 + （10000001)原 = （10000010）原 = ( —2 ) 显然不正确.
因为在两个整数的加法运算中是没有问题的,于是就发现问题出现在带符号位的负数身上,对除符号位外的其余各位逐位取反就产生了反码。反码的取值空间和原码相同且一一对应. 下面是反码的减法运算:
（ 1 ）10 — ( 1 ） 10= ( 1 ) 10+ （ -1 ) 10= ( 0 ）10
(00000001) 反+ （11111110）反 = （11111111)反 = ( —0 ) 有问题.
（ 1 ）10 - （ 2)10 = （ 1 )10 + （ —2 )10 = （ -1 )10
(00000001） 反+ (11111101)反 = (11111110）反 = ( —1 ) 正确
问题出现在(+0）和(-0)上,在人们的计算概念中零是没有正负之分的.（印度人首先将零作为标记并放入运算之中，包含有零号的印度数学和十进制计数对人类文明的贡献极大）。
于是就引入了补码概念. 负数的补码就是对反码加一,而正数不变,正数的原码反码补码是一样的.
在补码中用（—128）代替了（-0),所以补码的表示范围为:
(—128～0～127）共256个。
注意：(-128）没有相对应的原码和反码, （—128） = (10000000） 补码的加减运算如下：
( 1 ） 10— ( 1 ) 10= ( 1 ）10 + （ -1 ）10 = （ 0 )10
(00000001）补 + (11111111）补 = (00000000）补 = ( 0 ） 正确
( 1 ） 10- （ 2) 10= （ 1 )10 + ( -2 ）10 = （ —1 ）10
(00000001） 补+ （11111110） 补= （11111111)补 = （ —1 ) 正确
所以补码的设计目的是:
⑴使符号位能与有效值部分一起参加运算,从而简化运算规则。
⑵使减法运算转换为加法运算,进一步简化计算机中运算器的线路设计
所有这些转换都是在计算机的最底层进行的，而在我们使用的汇编、C等其他高级语言中使用的都是原码。看了上面这些你应该对原码、反码、补码有了新的认识了吧
在计算机内，定点数有3种表示法:原码、反码和补码
所谓原码就是前面所介绍的二进制定点表示法,即最高位为符号位，“0\"表示正，“1\"表示负，其余位表示数值的大小。
反码表示法规定：正数的反码与其原码相同；负数的反码是对其原码逐位取反，但符号位除外.
补码表示法规定：正数的补码与其原码相同；负数的补码是在其反码的末位加1.
1、原码、反码和补码的表示方法
（1） 原码：在数值前直接加一符号位的表示法。
例如： 符号位 数值位
［+7］原= 0 0000111 B
［-7］原= 1 0000111 B
注意：a. 数0的原码有两种形式：
[+0］原=00000000B [—0]原=10000000B
b。 8位二进制原码的表示范围：—127~+127
（2)反码：
正数:正数的反码与原码相同。
负数:负数的反码，符号位为“1”,数值部分按位取反。
例如: 符号位 数值位
[+7]反= 0 0000111 B
[-7］反= 1 1111000 B
注意：a。 数0的反码也有两种形式，即
[+0］反=00000000B
[- 0］反=11111111B
b。 8位二进制反码的表示范围：-127～+127
（3）补码的表示方法
1）模的概念：把一个计量单位称之为模或模数。例如,时钟是以12进制进行计数循环的，即以12为模。在时钟上，时针加上(正拨）12的整数位或减去(反拨）12的整数位，时针的位置不变。14点钟在舍去模12后，成为（下午）2点钟（14=14-12=2）。从0点出发逆时针拨10格即减去10小时,也可看成从0点出发顺时针拨2格(加上2小时），即2点（0-10=-10=—10+12=2）.因此，在模12的前提下，-10可映射为+2。由此可见，对于一个模数为12的循环系统来说，加2和减10的效果是一样的；因此，在以12为模的系统中,凡是减10的运算都可以用加2来代替,这就把减法问题转化成加法问题了（注：计算机的硬件结构中只有加法器，所以大部分的运算都必须最终转换为加法）。10和2对模12而言互为补数。
同理，计算机的运算部件与寄存器都有一定字长的（假设字长为8），因此它的运算也是一种模运算。当计数器计满8位也就是256个数后会产生溢出，又从头开始计数。产生溢出的量就是计数器的模，显然，8位二进制数，它的模数为28=256。在计算中，两个互补的数称为“补码\".
2)补码的表示：
正数：正数的补码和原码相同。
负数：负数的补码则是符号位为“1”,数值部分按位取反后再在末位(最低位）加1。也就是“反码+1”。
例如: 符号位 数值位
［+7］补= 0 0000111 B
［—7］补= 1 1111001 B
补码在微型机中是一种重要的编码形式，请注意:
a. 采用补码后，可以方便地将减法运算转化成加法运算,运算过程得到简化.正数的补码即是它所表示的数的真值，而负数的补码的数值部份却不是它所表示的数的真值。采用补码进行运算,所得结果仍为补码.
b。 与原码、反码不同,数值0的补码只有一个，即 [0]补=00000000B。
c. 若字长为8位，则补码所表示的范围为-128~+127；进行补码运算时，应注意所得结果不应超过补码所能表示数的范围。
2．原码、反码和补码之间的转换
由于正数的原码、补码、反码表示方法均相同，不需转换。
在此，仅以负数情况分析。
(1) 已知原码，求补码。
例:已知某数X的原码为10110100B,试求X的补码和反码。
解：由[X］原=10110100B知，X为负数。求其反码时,符号位不变，数值部分按位求反；求其补码时，再在其反码的末位加1。
1 0 1 1 0 1 0 0 原码
1 1 0 0 1 0 1 1 反码，符号位不变，数值位取反
1 +1
1 1 0 0 1 1 0 0 补码
故:[X]补=11001100B，［X]反=11001011B。
（2） 已知补码,求原码。
分析:按照求负数补码的逆过程，数值部分应是最低位减1，然后取反。但是对二进制数来说，先减1后取反和先取反后加1得到的结果是一样的，故仍可采用取反加1 有方法.
例：已知某数X的补码11101110B，试求其原码。
解：由［X]补=11101110B知，X为负数。求其原码表示时，符号位不变，数值部分按位求反，
再在末位加1.
1 1 1 0 1 1 1 0 补码
1 0 0 1 0 0 0 1 符号位不变,数值位取反
1 +1
1 0 0 1 0 0 1 0 原码
1．3．2 有符号数运算时的溢出问题
请大家来做两个题目：
两正数相加怎么变成了负数
1）（+72）+（+98）=？
0 1 0 0 1 0 0 0 B +72
+ 0 1 1 0 0 0 1 0 B +98
1 0 1 0 1 0 1 0 B -42
两负数相加怎么会得出正数
2)（—83)+(-80）=？
1 0 1 0 1 1 0 1 B -83
+ 1 0 1 1 0 0 0 0 B -80
0 1 0 1 1 1 0 1 B +93
思考:这两个题目，按照正常的法则来运算，但结果显然不正确，这是怎么回事呢？
答案:这是因为发生了溢出。
如果计算机的字长为n位，n位二进制数的最高位为符号位，其余n—1位为数值位，采用补码表示法时，可表示的数X的范围是 —2n-1≤X≤2n—1-1
当n=8时,可表示的有符号数的范围为-128～+127。两个有符号数进行加法运算时，如果运算结果超出可表示的有符号数的范围时，就会发生溢出，使计算结果出错。很显然，溢出只能出现在两个同符号数相加或两个异符号数相减的情况下。
对于加法运算，如果次高位（数值部分最高位）形成进位加入最高位,而最高位（符号位）相加（包括次高位的进位)却没有进位输出时，或者反过来，次高位没有进位加入最高位，但最高位却有进位输出时,都将发生溢出。因为这两种情况是：两个正数相加，结果超出了范围，形式上变成了负数；两负数相加，结果超出了范围，形式上变成了正数.
而对于减法运算，当次高位不需从最高位借位，但最高位却需借位（正数减负数，差超出范围），或者反过来，次高位需从最高位借位,但最高位不需借位（负数减正数，差超出范围)，也会出现溢出.
在计算机中，数据是以补码的形式存储的，所以补码在c语言的教学中有比较重要的地位,而讲解补码必须涉及到原码、反码.本部分演示作何一个整数的原码、反码、补码。过程与结果显示在列表框
中,结果比较少,不必自动清除，而过程是相同的,没有必要清除。故需设清除各部分及清除全部的按钮.测试时注意最大、最小正负数.用户使用时注意讲解不会溢出:当有一个数的反码的全部位是1才会溢出，那么它的原码是10000..。，它不是负数，故不会溢出。
在n位的机器数中，最高位为符号位,该位为零表示为正，为一表示为负；其余n-1位为数值位,各位的值可为零或一。当真值为正时，原码、反码、补码数值位完全相同；当真值为负时，原码的数值位保持原样，反码的数值位是原码数值位的各位取反，补码则是反码的最低位加一。注意符号位不变。
总结：提示信息不要太少，可“某某数的反码是某某”，而不是只显示数值。
原码、反码和补码
一、原码
求原码：X≥0，则符号位为0,其余照抄;
X≤0，则符号位为1,其余照抄。
【例1】X=+1001001 ［X］原 = 01001001
【例2】X=—1001001 ［X]原 = 11001001
二、反码
求反码：若X≥0，符号位为0，其余照抄；
若X≤0，符号位为1，其余按位取反。
【例3】X=+1001001 [X]反 = 01001001
【例4】X=—1001001 ［X]反 = 10110110
三、补码
求补码：若X≥0，符号位为0,其余照抄；
若X≤0，符号位为1，其余取反后，最低位加1。
【例5】X=+1001001 ［X]补 = 01001001
【例6】X=-1001001 [X]补 = 10110111
四、补码加减法
计算机中实际上只有加法，减法运算转换成加法运算进行，乘法运算转换成加法运算进行，除法运算转换成减法运算进行。用补码可以很方便的进行这种运算。
1、补码加法
［X+Y]补 = [X］补 + ［Y]补
【例7】X=+0110011,Y=-0101001，求[X+Y]补
［X］补=00110011 [Y］补=11010111
［X+Y]补 = ［X]补 + ［Y］补 = 00110011+11010111=00001010
注：因为计算机中运算器的位长是固定的，上述运算中产生的最高位进位将丢掉，所以结果不是
100001010,而是00001010。
2、补码减法
[X—Y]补 = [X］补 — ［Y]补 = ［X］补 + [-Y]补
其中[—Y］补称为负补，求负补的方法是:对补码的每一位（包括符号位）求反，最后末位加“1”。
【例8】X=+0111001,Y=+1001101,求［X—Y］补
［X］补=00111001 ［Y]补=01001101 [-Y］补 = 10110011
[X-Y］补 = [X］补 + [-Y]补 = 00111001+10110011=11101100
五、数的表示范围
通过上面的学习，我们就可以知道计算机如果用一个字节表示一个整数的时候，如果是无符号数，
可以表示0～255共256个数（00000000～11111111）,如果是有符号数则能表示-128~127共256个数（10000000~01111111）。如果两个字节表示一个整数，则共有65536个数可以表示,大部分程序设计语言中整数的范围都是—32768～32767的原因,可以看出这种整数类型是16位的有符号数，而且是补码表示的.
正数的反码和补码都是和原码相同。
为什么要设立补码呢？
第一是为了能让计算机执行减法：
［a-b］补=a补+（—b）补
第二个原因是为了统一正0和负0
正零：00000000
负零:10000000
这两个数其实都是0，但他们的原码却有不同的表示.
但是他们的补码是一样的，都是00000000
特别注意，如果+1之后有进位的，要一直往前进位,包括符号位！（这和反码是不同的！)
［10000000］补
=［10000000]反+1
=11111111+1
=(1）00000000
有人会问
=00000000（最高位溢出了，符号位变成了0) 10000000这个补码表示的哪个数的补码呢？
其实这是一个规定,这个数表示的是-128
所以n位补码能表示的范围是
—2^(n—1)到2^(n—1)-1
比n位原码能表示的数多一个
